Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10 Плавучие буровые платформы

Самый распространенный тип плавающего сооружения, действительно имеющего со всех сторон вертикальные борта, — это плавучие буровые платформы (рис. 10.27). Обычно они бывают прикреплены к морскому дну в определенном месте, но во время транспортировки плавают. Часто их строят квадратными, так что Эта симметрия передается поверхности центров величины; она становится параболоидом вращения, имеющим круговую симметрию. Следовательно, можно было бы подумать, что поверхность метацентров получается вращением кривой метацентров для двумерного случая (рис. 10.28), так что геометрия для точно квадратного судна с вертикальными бортами отличается замечательной простотой.

С точки зрения теории катастроф эта простота совершенно обманчива. В подходящих координатах функция энергии принимает вид

Рис. 10.27

Рис. 10.28

Рис. 10.29

Рис. 10.30

Этот многочлен не является конечно-определенным (как устанавливается непосредственным применением правил гл. 8) и потому имеет бесконечную коразмерность. По этой причине здесь нельзя воспользоваться методом универсальных деформаций, для того чтобы исследовать влияние малых несовершенств системы.

Например, та теорема, что максимальное число критических точек для почти всякой близкой функции превышает коразмерность на единицу, в нашем случае означает, что возможно любое число критических точек. Это можно увидеть и прямо: функция имеет окружающую начало кольцевую долину вырожденных критических точек (типа „жёлоба", см. § 1 гл. 4), как показано на рис. 10.29; а покрыв ее мелкой рябью, мы можем получить сколь угодно большое число невырожденных минимумов и сёдел. Картина одна и та же для всех положений центра тяжести судна прямо над острием М прокрученного клюва, и поэтому истинное бифуркационное множество таково, как на рис. 10.30, а не на рис. 10.28. Одна из поверхностей на рис. сжалась в луч вырожденных точек. Небольшим „шевелением" можно получить произвольное число омбилических точек вблизи М и каспоидных катастроф вблизи (Подобная вырожденность имеет место и для машины, получаемой „вращением" машины Зимана, — „изобретение", постоянно повторяемое теми, кто ищет встречи с высшими катастрофами.) Физически это означает, что по внешней видимости простая геометрия „идеального" судна, с единственным минимумом энергии для каждого положения не точно на дико неустойчива. Если лежит близко к то малые возмущения от ветра и волн могут накренить и завертеть покачнувшееся судно самым бедственным образом.

Это первый пример структурно неустойчивой метацентрической геометрии, который нам встретился; все другие приведенные выше примеры описываются при помощи нашего списка элементарных катастроф и потому ipso facto структурно устойчивы. С другой стороны, чувствительность к несовершенствам, в топологическом смысле бесконечная, в некотором смысле конечна количественно. Никакое малое несовершенство не может привести к тому, чтобы дно той области, где дает вырожденные положения равновесия, опустилось или поднялось на неожиданно большую величину. (Хотя оно и может в громадной степени увеличить

геометрическую сложность Мы имеем здесь ситуацию, когда качественная теория бесконечно сложна, в то время как ответы, разыскиваемые количественной теорией (скажем, возможные флюктуации метацентрической высоты), состоят из нескольких чисел. Значит, в этом случае естественные количественные вопросы в действительности грубее, чем качественные. Обращая знаменитое высказывание Резерфорда, мы можем со столь же (не)достаточным основанием сказать: „Количественное - это просто плохое качественное".

Отыскание этих количеств, строго говоря, требует огрубления отношения эквивалентности („совпадение с точностью до диффеоморфизма"), центрального в элементарной теории катастроф. Представляется, что при подходящем ослаблении этого отношения может оказаться возможным описание бесконечномерной области возможных несовершенств с помощью понятий, ничуть не более патологических, чем банахово пространство; однако это пока не совсем ясно. Даже если бы это и удалось выполнить, соответствующие математические построения лежали бы вне рамок этой книги.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление