Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3 Линейные преобразования

Линейное преобразование (или линейное отображение) из в — это функция обладающая свойствами

для всех Чтобы найти общий вид линейного преобразования, выберем базисы Значение для каждого есть некоторый элемент из и должны существовать скаляры такие что

Каждый элемент из единственным образом представляется в виде

и поэтому

Таким образом, любое линейное преобразование имеет такой вид. Легко проверить и обратное: всякое преобразование, представимое в таком виде, является линейным, какие бы скаляры мы ни взяли. (Физики, заметьте, пожалуйста: мы никогда не суммируем по повторяющимся индексам без явного указания на то посредством знака Е.)

Обычно удобнее всего выбирать в стандартный базис

и аналогично выбирать тогда

т. е. оказываются координатами х, которые мы обычно записываем как Изменив таким образом обозначения, мы имеем

Что собой представляет линейное отображение геометрически? Чтобы разобраться в этом, возьмем самый легкий случай: Пусть (см. рис. 2.4)

Тогда, например, Действие отображения сводится к „перекашиванию" плоскости, при котором прямые, проходящие через начало, переходят в такие же прямые, а квадраты переходят в параллелограммы (рис. 2.5(a)). Точнее, так обстоит дело, когда точки линейно-независимы. Если они линейно зависимы (но не совпадают обе с 0), то отображает в некоторую прямую линию, так сказать, сплющивает плоскость (рис. Если то переводит плоскость в начало (рис. 2.5(c)), сплющивая ее окончательно.

Аналогично обстоит дело и для отображений поэтому мы любое линейное преобразование (даже и в случае более высоких размерностей)

Рис. 2.4

представляем себе как скашивание, которое прямые, проходящие через начало, переводит в такие же прямые (многомерные) кубы — в (многомерные) параллелепипеды.

Возвращаясь к отображениям заметим, что когда отображается в прямую, каждая точка этой последней служит образом целой прямой; если отображает всё в 0, то 0 оказывается образом целой плоскости; если же отображает на себя, то каждая точка есть образ ровно одной точки. Грубо говоря, чем больше сплющивание (в смысле размерности), тем больше точек сплющивается в одну (в том же смысле). Чтобы выразить это наблюдение подобающим образом, определим ранг отображения как размерность его образа и дефект как размерность его ядра

Теперь можно доказать, что ранг отображения плюс его дефект равняется Эквивалентное утверждение, зачастую лучше вскрывающее геометрическое существо дела;

Мы говорим, что отображение обратимо (или невырожденно), если существует обратное линейное отображение такое что для всех для всех Это имеет место, если и только если и ранг тоже равен или, эквивалентно, дефект равен нулю. Таким образом, знание ранга позволяет сказать, насколько далеко от обратимости, или насколько сильно оно сплющивает точки — насколько оно вырождено.

Рис. 2.5

Используя эти соображения, можно дать классификацию линейных отображений с точностью до замены координат. Если линейное ненулевое отображение, то его ранг равен 1, а дефект Выбрав какой-нибудь базис для ядра и дополнив его до базиса в вектором для которого мы найдем, задается равенствами

Если — другое ненулевое линейное отображение из в то то же верно и для по отношению к некоторому базису значит, переход от базиса к базису обеспечивает одинаковую запись для Следовательно, все ненулевые линейные отображения выглядят одинаково с точностью до замены координат, а все нулевые просто совпадают; классификация закончена.

Аналогичным образом показывается, что если и — отображения с одним и тем же ядром, то они получаются друг из друга умножением на скаляр.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление