Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9 Трехмерный случай

Рассмотрим теперь судно с вертикальными бортами произвольного горизонтального сечения (рис. 10.23). Соответственно параболической форме кривой центров величины в двумерном случае мы имеем здесь следующий результат: для тех положений судна, в которых вода не заливается за

Рис. 10.23

борт, поверхность центров величины может быть жесткой заменой координат (а не просто гладкой) приведена к виду

Таким образом, мы знаем метацентрическую геометрию вблизи прямого положения любого судна с вертикальными бортами, если только нам известны значения вся сложность, связанная с произвольностью сечения, исчезает.

Для доказательства положим, как и раньше, где — крен судна в направлении оси у, и аналогично где — крен в направлении оси х. Выберем какую-нибудь систему координат, связанную с судном, в которой центроид

О сечения судна плоскостью уровня воды (см. рис. 10.24) имеет координаты (0, 0, 0), а само это сечение лежит в плоскости Мы утверждаем, что объем судна под любой плоскостью

равен первоначальному объему вытесненной воды. Действительно, достаточно заметить, что добавленный объем равняется отнятому. Последнее легко выводится из условия, что момент относительно прямой

равен нулю (по соображениям линейности), которое в точности сводится к условию, что проходит через центроид а это имеет место по предположению.

Отсюда следует, что область под плоскостью Р — это как раз область, погружающаяся в воду, когда судно находится в положении вертикального равновесия, при котором эта плоскость становится горизонтальной. Значит, как и в двумерном случае на рис. 10.4, судно можно считать

Рис. 10.24

вращающимся вокруг некоторой точки на уровне поверхности воды, при условии что судно не черпает воду.

Беря теперь моменты относительно плоскости мы находим, что изменение координаты х центра величины пропорционально

Аналогично координата у сдвигается пропорционально

а координата — пропорционально

Значит, если обозначить координаты центра величины через то X и Y зависят от в точности линейно и притом невырожденно, в то время как зависит от них квадратично, поскольку все интегралы являются константами. Таким образом, поверхность центров величины представляет собой график некоторой квадратичной формы, необходимо положительно-определенной (из-за выпуклости); поэтому поворотом координат эту форму можно диагонализовать и получить уравнение

как и требовалось.

(Оси, в которых уравнение принимает такой вид, — это на самом деле главные оси инерции (оси эллипса инерции) сечения значения также получаются из этого эллипса.)

Итак, с точностью до масштабного коэффициента (зависящего от веса судна и от его размеров) геометрия поверхности метацентров судна с вертикальными бортами зависит лишь от отношения которое выводится из его сечения. Рисунок 10.25(a) показывает ее вид (мы смотрим немного снизу) для отношения несколько большего единицы, причем ось х идет вдоль большой оси эллипса инерции. Для больших отношений т. е. для судов, длина и ширина которых сильно отличаются друг от друга, сложная часть

Рис. 10.25 (см. скан)


поверхности практически будет вне досягаемости центра тяжести. Лишь расположенная над килем парабола Р клювов сборки будет тогда важной, и обусловливаемое ею статическое поведение, как можно видеть, будет близко соответствовать нашему предыдущему двумерному анализу (здесь следует учесть, что указанная парабола при больших будет очень „плоской"). Однако в некоторых практически встречающихся случаях (см., например, следующий параграф) отношение не слишком отличается от единицы.

Как видно из рис. 10.25(a), поверхность метацентров состоит из двух поверхностей. В двух точках I острое ребро (линия сборок) одной из них пересекает другую, а в точке Н (и в соответствующей точке с другой стороны) мы имеем гиперболическую омбилику, где обе поверхности пересекаются так, что линия сборок переходит с одной из них на другую (см. § 7 предыдущей главы). Читателю будет полезным упражнением связать различные максимумы, минимумы и сёдла в этих положениях для центра тяжести с физическими положениями судна; такие детали слишком загромоздили бы наш рисунок. Заметим, что лишь во внутренней области, отдельно показанной на рис. 10.25(b) (смотрим сверху), мы имеем более чем один минимум.

Рис. 10.26

Аналогичный анализ (при четырех гиперболо-омбилических точках) можно провести и для эллипсоидального судна; как и в случае эллипса, поверхность центров величины оказывается подобным эллипсоидом, а поверхность метацентров будет его фокальной поверхностью (рис. 10.26), изученной еще Кэли [51]. Заново это исследование на языке теории катастроф проведено Бэнкоффом и Страуссом [51а].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление