Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8 Прямоугольное судно

Для одной специальной формы, которую, по крайней мере в качестве хорошего приближения, имеют реальные суда — именно, для прямоугольной формы, — мы получим, более интересные результаты. Выберем единицу длины так, чтобы высота равнялась 1; ширину судна обозначим через (без потери общности можно считать, что Пусть водоизмещение таково, что корабль оказывается в состоянии равновесия на плаву, когда погружена часть его площади.

В случае когда 1/2, нам достаточно изучить лишь два положения, показанные на рис. 10.18(a) и При нужно было бы также рассмотреть еще рис. Однако этого можно не делать, если заметить, что кривую центров величины (и, значит, также кривую метацентров) для данного отношения 1/2 можно получить из такой кривой для X, замененного на повернув ее на 180° вокруг центра прямоугольника (в данном случае из-за симметрии это ничего не меняет, но последующее рассуждение остается

Рис. 10.18

справедливым и для асимметричных форм) и произведя преобразование подобия с коэффициентом Для доказательства рассмотрим два куска, на которые делит судно линия уровня воды (см. рис. 10.19). Пусть центроиды этих кусков имеют координаты (X,, У и по отношению к центроиду прямоугольника, принятому за начало. Взяв их моменты, получим

так что

Итак, примем дальше, что Легко проверить, что кривая центров величины состоит из четырех дуг парабол и четырех дуг гипербол (при последние исчезают), как это показано на рис. 10.20. Параболы отвечают положению судна, представленному на рис. 10.18(a), а гиперболы — на рис. 10.18(b). В системе координат, указанной на рис. 10.20, с началом в центре прямоугольника, отмеченные двенадцать точек имеют следующие координаты:

Уравнения дуг (остальные получаются по симметрии, и мы их не выписываем) таковы:

Остается лишь вычислить кривую метацентров как эволюту этих дуг, что требует разбора отдельных случаев. На параболических дугах радиус кривизны имеет минимумы в точках В, Е, Н, К, и радиус этот монотонно возрастает при удалении от этих точек вдоль парабол. На гиперболических дугах поведение зависит критическим образом от значений X и Если

то никаких максимумов или минимумов внутри гиперболических дуг не будет, но будет, скажем для дуги максимум

Рис. 10.20

Рис. 10.21

в точке С стыка с параболой (и симметрично для других дуг). Если же то появляется новый минимум внутри каждой гиперболической дуги в той точке, где она пересекает одну из прямых Последний случай более сложен, здесь кривая метацентров имеет восемь клювов сборки и восемь клювов двойственной сборки, и мы отсылаем читателя за дальнейшим анализом этого случая к статье Зимана [4.8], ибо наша цель здесь заключается лишь в иллюстрации метода, а не в его исчерпывающем изучении.

В точке произвольной кривой центр кривизны имеет координаты (X, У), задаваемые формулами

а радиус кривизны равен

Используя эти формулы, можно проверить, что радиус кривизны

и далее по симметрии. Разрывы в радиусе кривизны привели бы к отрезкам прямых в кривой метацентров, как на рис. 10.21, но в нашем случае, как показывает одно рассуждение Зимана, этого не происходит. Тем не менее кривизна не обязана меняться гладко и „атипичные" клювы типа параболического острия могут встретиться и при (С помощью соответствующего „закругления" углов прямоугольника можно сгладить кривизну и получить в клюв настоящей сборки, но это не дает лучшей аппроксимации кривой метацентров. Кроме того, сглаживание нужно проводить осторожно, иначе оно введет новые клювы.) Нам будет удобно и в случае таких точек продолжать говорить о сборке. Итак, кривая метацентров имеет четыре клюва сборки и четыре двойственных клюва сборки: первые в центрах кривизны параболических дуг для точек , а вторые — в центрах кривизны для точек В, Е, Н, К.

Рис. 10.22 (см. скан)

Считая по приведенным выше формулам, получаем ,

остальное по симметрии. На рис. 10.22 показаны соответствующие кривые метацентров для ряда случаев.

Заметим, как двойственный клюв сборки эллиптического судна разбился на клюв сборки и два двойственных клюва сборки, дающие конфигурацию „бабочки". Такая возможность

известна в литературе, см., например, Робб [50], стр. 134. Это тонкий пример анализа устойчивости. Оценка инфинитезимальной устойчивости по метацентрической высоте в вертикальном положении привела бы к благоприятному заключению, что устойчивость здесь удовлетворительна. На практике метацентрические высоты делают для надежности весьма малыми — порядка полуметра (см. примеры в конце § 6). Анализ локальной устойчивости, который показывает, что при кривая метацентров имеет стандартную, а не двойственную сборку, тоже привел бы к благоприятному заключению. Однако глобальная геометрия кривой метацентров показывает, что судно обладает дискомфортной чувствительностью к боковым смещениям центра тяжести.

Конечно, лучше было бы провести это обсуждение для реальных форм судов. Но хотя эволюту выпуклой кривой нарисовать несложно (ставя в соответствие стандартные сборки максимумам кривизны, двойственные сборки — минимумам и отмечая соответствующие положения центров кривизны), куда как труднее найти кривую центров величины при данных форме и водоизмещении судна. Эта задача легко разрешается с вычислительной машиной, и такая работа сейчас ведется. Мы же должны будем ограничиться примерами, в которых все вычисления можно выполнить вручную.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление