Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5 Геометрия кривой центров величины

Рассмотрим произвольное судно веса на воде в некотором данном положении вертикального равновесия (рис. 10.6(a)). Его центр величины В занимает положение, которое имел бы центр тяжести воды того же веса налитой в сосуд имеющий форму судна (рис. 10.6(b)). Поверхность воды в этом сосуде, естественно, соответствовала бы ватерлинии на рис. 10.6(a). Это единственная возможность для воды в данном сосуде, повернутом данным образом, удовлетворить принципу минимума энергии (доказать этот факт несложно, но он настолько очевиден, что мы не будем этим заниматься). Следовательно, при таком расположении воды в сосуде центр тяжести должен занимать наинизшее положение. Значит, любой поворот судна 5 приводит к новой конфигурации воды в (рис. 10.6 (с)) с новым центроидом В, необходимо расположенным выше В в смысле исходного вертикального направления. Поэтому кривая центров величины имеет в В единственный минимум (относительно указанной вертикали). Так как в дифференцируемом случае минимум должен быть горизонтальным, проходит через точку В горизонтально, что мы и хотели доказать.

В этом рассуждении предполагается, что не имеет углов. В случае судна произвольной кусочно-дифференцируемой формы оно справедливо для почти всех значений водоизмещения. (Более точно, как в двух-, так и в трехмерном случае кривая, соответственно поверхность центров величины параметризуется положением корабля О-гладко (но, вообще говоря, не более чем кусочно-С-гладко) для всех значений водоизмещения, исключая множество меры нуль. Однако доказательство этого утверждения опирается на теоремы дифференциальной топологии, лежащие вне рамок нашей книги; см. Питт и Постон 1491.)

Во всяком случае, проведенное рассуждение доказывает строгую выпуклость и двумерность судна в нем нигде не используется.

Рис. 10.6

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление