Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10. ОСТОЙЧИВОСТЬ СУДОВ

Иногда теория катастроф позволяет дать неожиданную переформулировку „классических" результатов, и такая переформулировка часто оказывается полезной в качестве осноеы для дальнейшего продвижения вперед: чтобы пойти вперед, иногда бывает необходимо сначала отойти немного назад и пройти путь заново. Примером может служить недавняя работа Зимана по остойчивости судов. Мы дадим здесь введение в эту работу, в большой мере основанное на его лекциях. Мы будем иметь дело лишь со статическим равновесием. У Зимана постановка задачи была ориентирована на изучение динамического равновесия, что имеет очевидное практическое значение, однако полное изложение вопроса увело бы нас слишком далеко в сторону. Эту главу, следовательно, нужно рассматривать как подготавливающую к чтению Зимана [48].

СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ

1 Плазучесть

Рассмотрим жесткое двумерное судно 5, погруженное в воду (рис. 10.1(a)). (К трехмерному случаю мы обратимся в § 9, значительная часть теории переносится на этот случай без существенных изменений.) Из школьной физики мы знаем, что выталкивающие силы, действующие на судно со стороны воды, имеют результирующей вертикальную силу, равную весу вытесненной воды К (рис. 10.1(b)) и приложенную в центре тяжести Если плотность воды постоянна, как мы и будем предполагать, этот центр тяжести совпадает с центроидом (геометрическим центром тяжести) погруженной части судна, вытеснившей воду К- Для данного угла крена В эта сила будет тем больше, чем ниже погружено судно (пока вода не начинает заливаться за борт). Таким образом, для каждого 0, если судно вообще может держаться на плаву при этом 0, будет иметься единственная высота, при которой направленная вверх сила равна весу судна. На языке теории катастроф мы можем поэтому назвать

Рис. 10.1

Рис. 10.2

вертикальное смещение несущественной переменной и параметризовать положение судна при изучении положений равновесия с помощью одного только 0. (На самом деле так можно делать даже и в динамическом анализе: вертикальные смещения из положения равновесия вызывают к жизни столь огромные восстанавливающие силы и столь быстро гасятся, что может оказаться нужным учитывать разве лишь какие-нибудь очень странные резонансные эффекты.)

Итак, каждому 0 отвечает вполне определенная высота судна и тем самым вполне определенная конфигурация погруженной части К со своим центроидом . Точка называется центром величины 1 судна при угле крена 0. Вес судна (включая груз и пр.), или, что эквивалентно, вес воды, которую оно вытесняет в положении вертикального равновесия, называется водоизмещением.

2 Равновесие

В случае равновесия вес и выталкивающая сила 2 не только должны быть равной величины, как это мы уже приняли выше, они должны быть направлены вдоль одной и той же вертикальной прямой, иначе судно начнет вращаться. Пара сил, показанная на рис. 10.2, создает восстанавливающий момент, равный произведению их общей величины на расстояние между прямыми, вдоль которых они действуют. Это расстояние, считаемое положительным в случае, когда результирующий момент стремится уменьшить 0 (так что знак не указывает здесь на направление момента по или против часовой стрелки, как было бы привычно для математика), в морском деле называется плечом восстанавливающего момента 3.

3 Остойчивость

Если бы точка В (0) была фиксированной точкой опоры для судна (каковой практически она является для подводной лодки; почему?), для остойчивости требовалось бы, чтобы центр тяжести судна был расположен ниже Действительно, смещение из такого положения равновесия, как на рис. 10.3(a), привело бы нас к положению, изображенному на рис. 10.3(c). Однако в действительности

Рис. 10.3

движется при изменении 0, и поэтому оказываются возможными такие ситуации, как на рис. 10.2, где выше, чем но отклонение от положения вызывает восстанавливающий момент и прямое (без крена) положение судна остойчиво. Значит, остойчивость зависит от того, каким образом меняется положение в зависимости от 0. Прежде чем углубляться дальше в теорию, разберем один частный (впрочем, довольно общий) случай.

4 Судно с вертикальными бортами

Рассмотрим симметричное судно ширины с прямыми вертикальными бортами и (рис. Допустим, что оно накренилось на угол

для которого линия уровня воды проходит между А и и (рис. 10.4(b)). Выберем систему координат жестко связанную с как показано на рисунке. Определим числа и потребовав, чтобы прямая имела уравнение а ватерлиния в положении равновесия при — уравнение Пусть часть судна, лежащая ниже имеет центроид и площадь V.

Если судно повернуть вокруг точки находящейся на уровне воды, то к погруженной области добавится

1 из нее вычтется по равному треугольнику. Поэтому условие вертикального равновесия (т. е. условие равновесия проекций сил на вертикальную ось) требует, чтобы точка оставалась при всех кренах на уровне воды, и центр величины можно найти, подсчитав моменты:

(а) относительно оси х:

Рис. 10.4

Рис. 10.5

откуда

(Ь) относительно оси у.

откуда

Поскольку — константы (во всяком случае, при данном весе судна и груза), мы можем записать

с комбинированными константами и с.

Итак, множество точек, описываемое при изменении 0, которое мы назовем кривой центров величины оказывается параболой

На рис. 10.5 показано, как располагается эта кривая, и проведены для различных 0 прямые, проходящие через и вертикальные в момент, когда корабль накренен на угол Ясно, что если центр тяжести корабля находится ниже острия клюва, то равновесие при будет устойчивым (рис. если же выше, то неустойчивым. (Чтобы убедиться в этом, рассмотрите кренящие моменты.) В последнем случае, однако, имеются два новых устойчивых положения равновесия, в которых судно имеет небольшой крен в ту или другую сторону (рис. 10.5(b)).

Это выглядит очень похоже на поведение параболической гравитационной машины-качалки, которой мы занимались в гл. 1 и 5. Чтобы показать, что геометрия здесь и там в точности одна и та же, нужно доказать, что прямые на рис. 10.5 тоже будут нормалями к параболе. Так как они по определению вертикальны, когда крен корабля равен 0, мы должны показать, что в этом случае кривая центров величины идет горизонтально в точке В нашем частном случае это тривиально проверяется аналитически, но мы докажем это при помощи общего рассуждения, пригодного для судов произвольной формы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление