Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Параболическая омбилика

Параболическая омбилика — вещь, бесспорно, более хитрая, достаточно сказать, что в первом издании книги Тома [II в ее описании имеются мелкие неточности. Ее геометрия подробно исследована Шансинером [45] и Годвином [461, а у Вудкока и Постона [20] приведены рисунки, выполненные вычислительной машиной. Наше последующее изложение будет довольно беглым (поскольку мы не имеем в виду никаких особых приложений этой катастрофы); оно основано на работе Зимана [7].

Мы исходим из такой алгебраической формы этой катастрофы:

Многообразие катастрофы задается уравнениями

Карту для М зададим при помощи координат и отображения

Тейлоровское разложение еыглядит так:

Это наводит на мысль ввести новую карту где

старая карта выражается через новую следующим образом:

Квадратичная часть разложения вырождается при и поскольку в это уравнение не входит определяемое им множество имеет вид

где К — двойной конус, задаваемый уравнениями ось

Оставаясь в пределах пространства мы можем установить, какие встретятся типы критических точек. Двойная вырожденность возможна только на прямой

Рис. 9.22

Рис. 9.23 (см. скан)


или т. е. на оси При мы получим гиперболические омбилики, при — эллиптические (достаточно рассмотреть -струю). Вне прямой вырожденность однократна, значит, существенна лишь одна переменная и встречаются лишь каспоиды.

В карте отображение катастрофы записывается в виде

Характер каспоидных точек можно определить, вычислив

Рис. 9.24. Параболическая омбилика по Ениху. (Из книги Брёкера и Ландера

особенности этого отображения. Результат таков:

Сборки будут стандартными при и двойственными при 0, с одним исключением: в последнем случае имеются еще и стандартные сборки между ласточкиными хвостами. Чтобы пояснить это высказывание, прибегнем к геометрической картинке, заимствованной у Зимана [7].

Нам нужно каким-то образом запихнуть множество во что-нибудь трехмерное, чтобы его можно было нарисовать. Но как множество, уже само по себе трехмерно, так как К — двумерная поверхность; беда в том, что она кривая. Поэтому давайте распрямим ее. Воспользуемся проекцией которая диффеоморфно „распрямляет" каждую компоненту дополнения к началу. Для одного сечения на рис. 9.22 показано, как происходит это распрямление: коническая шапочка переходит диск. Теперь можно сложить такие диски стопкой в направлении оси и нанести на них типы критических точек. То, что получится, изображено на рис.

Хотя интерпретацию этой картины следует проводить осторожно ввиду различных искажений, одно видно четко — это как три прямые на конусе, отвечающие эллиптическим омбиликам, сливаются на уровне причем

две из них здесь исчезают, а остающаяся одна превращается в прямую гиперболических омбилик. Это вскрывает роль параболической омбилики как точки перехода между эллиптической и гиперболической омбиликами.

Чтобы найти бифуркационное множество, нужно теперь подставить в выражение для отображения катастрофы и посмотреть, где находятся различные типы критических точек. Это долгая аналитическая работа, и мы не намерены проводить ее здесь! Результаты приходится изображать на нескольких картинках разного рода, каждая из которых выявляет свои особые черты катастрофы.

Рис. 9.24 взят из книги Брёкера и Ландера [9]. На нем показаны для точек единичной окружности в плоскости сечения, параллельные плоскости В точке 16 мы видим обычное бифуркационное множество (кривая с острием) для сборки Уитни. В 1 появляется изолированная точка, которая в 2 превращается в „губы“. Такая эволюция сечения объясняется тем, что мы сечём поверхность с острым ребром (линией сборок), как показано на рис. 9.25, и это не есть новый тип катастрофы. В 3 первоначальный „клюв“ достигает „уст“, а в 4 приближается уже к нижней губе, причем картина напоминает гиперболическую омбилику (рис. 9.20). В 5 мы действительно встречаемся с точкой гиперболической омбилики: кончик клюва сливается углом с нижней губой. Затем в 6 появляется треугольник с заостренными углами, напоминающий об эллиптической омбилике. Треугольник съеживается, втягивается в кривую складок в 7, а в 9 сжимается в точку в момент эллиптической катастрофы, после чего снова начинает расти (сечение 10), вырастает, пронзает в 11 кривую складок и проходит через нее в 12. Далее верхняя сторона треугольника доходит до кривой складок, касается ее в точке с особенностью „клюв-к-клюву“ в 13 и разрывается в 14. Здесь снова все объясняется тем, что мы сечем поверхность с острым ребром (линией сборок), см. рис. 13.16. Образовавшиеся два выступа сжимаются в 15 в точки типичным для ласточкиных хвостов способом, и мы возвращаемся в 16 к обычному острию сборки, завершая круг.

В этом обходе мы можем видеть, как все катастрофы коразмерности три и меньше появляются на своем месте в параболической омбилике; из семи катастроф Тома отсутствует одна только бабочка. Каждая из семи катастроф содержит в себе „подкатастрофы" (иначе говоря, их версальные деформации содержат функций, критические точки которых имеют соответствующий тип) согласно следующей диаграмме соподчинения:

Рис. 9.25

Рис. 9.26

На рис. 9.26 показаны три трехмерных сечения, заимствованные у Годвина [46]; они отвечают трем фиксированным значениям — отрицательному, нулевому и положительному. В [47] Годвин приводит некоторые диаграммы линий уровня для потенциалов, Том также дает в 1421 такие диаграммы (правда, последние отчасти вводят в заблуждение, так как соответствуют точкам нелокального бифуркационного множества, см. § 12 гл. 11). В отличие от эллиптической и гиперболической омбилик параболическая омбилика не самодвойственна, и поэтому расположение максимумов, минимумов, сборок, двойственных сборок и пр. зависит от выбранного знака. При любом выборе знака область существования каждого минимума очень мала, как читатель может убедиться самостоятельно (используя структуру уже изученных катастроф, чтобы постепенно продвигаться от точки к точке).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление