Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7 Гиперболическая омбилика

Для гиперболической омбилики мы также возьмем стандартную форму, использовавшуюся Томом [1]:

как было во всех подробностях показано в § 7 гл. 8, она эквивалентна форме, которая была приведена в гл. 7. Многообразие катастрофы задается уравнениями

и мы можем принять в качестве параметров карты с отображением

Тейлоровское разложение здесь таково:

Кубическая часть вырождена лишь в направлении и имеет лишь одну вещественную корневую прямую. Квадратичная часть дает естественные координаты

Она вырождается на дискриминантном конусе как и раньше; в координатах а уравнение этого конуса

Рис. 9.18

принимает вид

Квадратичная часть обращается в нуль на прямой вырожденности кубической части при т. е. когда Это происходит на прямой, имеющей следующую параметризацию (с параметром

в координатах а эта кривая выглядит как переходя к параметру х, получаем параметризацию

Как и раньше, на конусе находятся точки складки, за исключением нашей прямой, где лежат сборки и двойственные сборки, а вне конуса располагаются морсовские точки; всё это изображено на рис. 9.18.

Посмотрим, каковы образы этих частей конуса в бифуркационном множестве. Параметризуем конус

следующим образом:

Эта параметризация не позволяет охватить прямые но с ними легко разобраться отдельно. Теперь особое множество в М получает параметризацию

а образ прямой сборок выделяется условием т. е.

Рис. 9.19

задается параметрически так:

Для В параметризация получается такой:

при условии что Снова оказывается, что сечення при постоянных а подобны и одинаково ориентированны, с параболически растущим коэффициентом подобия. Типичное сечение при показано на рис. 9.19. Образом прямой сборок служит парабола, плоскость которой наклонена под углом 45° к отрицательным полуосям и с.

Прямые, с которыми мы обещали разобраться отдельно, отображаются так: при образом прямой в М будет

т. е. отрицательная полуось ; аналогично прямая переходит в отрицательную полуось В результате бифуркационное множество имеет вид, показанный на рис. 9. 20. Отметьте, что самопересечение поверхности происходит как раз по образам двух только что рассмотренных прямых — это место встречи образов двух половин двойного конуса.

Чертеж конуса (рис. 9.18) помогает нам понять, как кривая сборок образ некоторой прямой при отображении класса — перепрыгивает с одной поверхности на другую. Попытки продолжить ее, оставаясь на одной и той же поверхности, приводят к кривой с разрывными производными.

Рис. 9.20

Рис. 9.21

Появляющиеся тут типы критических точек указаны на рис. 9.20. Графики при различных значениях параметров управления приведены в книге Тома [42].

Если в проведенном выше анализе параметр записать как то аналогия со случаем эллиптической омбилики станет более заметной. В формуле, задающей бифуркационное множество, появятся гиперболические, а не тригонометрические функции, но в остальном всё будет аналогично. Этого можно было ожидать, так как эллиптическая и гиперболическая омбилики эквивалентны над комплексными числами.

На рис. 9.21 изображено бифуркационное множество для другой формы катастрофы гиперболической омбилики

Эту форму можно получить (с помощью преобразования из § 7 гл. 8) из предыдущей. Сразу видно, что топология остается той же.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление