Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6 Эллиптическая омбилика

Для омбилик связь между тейлоровскими разложениями и геометрией катастроф особенно поразительна; в частности, она помогает объяснить как сходства, так и различия между эллиптической и гиперболической омбиликами. (Над комплексными числами оба эти типа сливаются в один, но в вещественном случае их геометрические свойства резко различаются, хотя известные черты „фамильного сходства" и остаются.)

Для эллиптической омбилики деформацию можно взять в виде

эго стандартная форма, использованная Томом в [42]. Она отличается от приведенной нами в гл. 7, но эквивалентна ей. Ясно, что нужно сделать, чтобы перевести (поменять местами оси координат и соответствующим образом изменить масштабы вдоль осей), а правила для обращения с деформациями (см. предыдущую главу) позволяют довершить остальное. (Вместо члена можно было бы с тем же успехом взять или или сколько угодно других выражений, но мы, следуя Тому, останавливаемся на так как это позволяет выявить ряд полезных симметрий.) Мы анализируем именно это алгебраическое выражение, так как оно естественным образом возникает в одном важном приложении, разобранном в гл. 11.

Многообразие катастрофы М задается парой уравнений

Следовательно, можно воспользоваться переменными в качестве параметров следующей карты для

. Возьмем тейлоровское разложение в точке, лежащей в М:

Примем коэффициенты квадратичного члена за координаты

Квадратичный член вырождается на дискриминантном конусе (см. § 5 гл. 2 и §§ 2, 4 гл. 7), уравнением которого служит

или

Это уравнение определяет особое множество в М. Поскольку мы используем карты, это множество диффеоморфно (двойному) конусу. Отметим, что математически это более неприятный случай, чем каспоиды, где особое множество всегда было многообразием, на самом деле даже линейным в подходящей системе координат; теперь же особое множество само имеет сингулярности (вершина конуса). Эта коническая структура проявится, как мы увидим ниже, в бифуркационном множестве.

Анализ алгоритма приведения показывает, что там, где квадратичный член тейлоровского разложения однократно вырожден (двукратная вырожденность возможна только в начале), кубический по существенной переменной член будет совпадать с ограничением многочлена на прямую, где вырожденна матрица Гессе. Этим тип критической точки будет определен, если только на этой прямой не обращается в нуль тождественно, поскольку ненулевая однородная кубика от одной переменной х автоматически эквивалентна Если же обращается, то требуется более тщательное исследование.

Корневые прямые кубического члена задаются равенством т. е. уравнения их такие:

Квадратичный член вырождается в этих направлениях соответственно при

Но направление отвечает вырожденности в Х-на-правлении, которое для нас не имеет значения, поэтому мы можем считать, что и выразить и через

Рис. 9.14

получив тем самым три возможных набора для

Это три прямые, лежащие в дискриминатном конусе (рис. 9.14). В координатах их параметрические уравнения таковы:

На рис. 9.14 отмечены различные типы критических точек. На конусе, вне трех выделенных прямых, располагаются точки складки; на самих этих прямых лежат точки сборки и двойственной сборки; тип критической точки в начале является характеристическим для эллиптической омбилики — это „обезьянье седло“. Морсовские максимумы, минимумы и сёдла окружают конус известным уже нам образом.

Тот факт, что указанным трем прямым отвечают не просто геометрические сборки поверхности, а целые линии из точек с каноническими деформациями сборки, является весьма тонким. Каким образом можно продеформировать среди этих квадратичных и кубических членов? Этот вопрос в действительности породил пример (d) из § 13 предыдущей главы, где мы нашли струю в такой точке (со сдвигом начала в плоскости для которой детально показали, что она эквивалентна сборке, при условии что ее квартичная часть обращается в нуль в исходных координатах. Но по теореме 8.6 универсальная деформация для принимает в подходящей системе координат в точности тот самый полиномиальный вид, который мы сейчас изучаем, так что в этой системе координат мы

Рис. 9.15

действительно знаем, что квартичный член равен нулю, и можем использовать вытекающую отсюда 4-определенность для доказательства того, что функции имеют указанный вид. (Доказательство того, что полученная деформация с двумя параметрами управления и с оказывается универсальной, читателю рекомендуется провести самостоятельно в качестве упражнения.) Аналогичный и более впечатляющий пример встретится нам при описании геометрии сложного выпучивания пластин (§ 15, гл. 13).

Теперь с помощью проекции в пространство управления мы можем найти бифуркационное множество, для чего нужно выразить с через х, у и а. Три прямые сборок переходят в кривые

где а играет роль параметра. Ясно, что эти три кривые представляют собой конгруэнтные параболы, плоскости которых наклонены друг к другу под углом 120°, как показано на рис. 9.15. Вне этих кривых имеются лишь точки складок, и поэтому остальная часть бифуркационного множества гладкая; каждая парабола служит „острым ребром"

Рис. 9.16

Рис. 9.17

получающейся поверхности; вся поверхность в целом является образом двойного конуса. Сказанного уже достаточно, чтобы догадаться, что бифуркационное множество выглядит так, как изображено на рис. 9.16; мы проверим это следующим образом.

Наше бифуркационное множество служит проекцией (образом при отображении катастрофы) конуса

лежащего в М. Параметризуем этот конус с помощью :

Тогда параметризация его образа В в пространстве управления получается, если выразить и с через а и 0, которые мы продолжаем рассматривать как параметры:

Если оставить в стороне растущий по параболическому закону коэффициент то в сечениях, параллельных плоскости при всех а наблюдается одна и та же зависимость от 0. При мы получаем

это хорошо известная кривая — дельтоида, или гипоциклоида с тремя остриями, показанная на рис. 9.17. Таким образом, сечения бифуркационного множества В, отвечающие постоянным а, представляют собой подобные и одинаково ориентированные дельтоиды, параболически растущие с ростом а.

Острия дельтоиды находятся из следующего условия: если написать

то мы должны иметь Исключив и продифференцировав, получим

так что или . Кривые, образованные этими остриями, — это те самые параболы, которые мы нашли выше, изучая типы критических точек.

Изучение вида графиков для различных значений параметров управления мы отложим до гл. 11, где это понадобится нам в одном приложении. Тем не менее на рис. 9.16 указаны различные комбинации критических точек, которые могут тут встретиться.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление