Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2 Эвклидовы пространства

Пространства высокой размерности изучаются с помощью следующего обобщения „координатной геометрии". Для любого целого мы определяем n-мерное эвклидово пространство как

Удобно использовать сокращенное обозначение

при этом называется компонентой или координатой х.

Для мы определяем сложение и умножение на скаляр X формулами

Рис. 2.2

далее будем писать 0 вместо Эти операции наделяют структурой вещественного векторного пространства. Имея в виду эту структуру, мы будем называть точки векторами.

В указанные операции допускают геометрическую интерпретацию. Сложение отвечает „правилу параллелограмма" (рис. а умножение на скаляр изменению масштаба (и направления, в случае отрицательного скаляра) (рис. По аналигии мы можем представить себе такие же геометрические операции в это оживляет язык, но требует каждый раз алгебраической проверки того, что ожидаемые свойства действительно справедливы. В частности, для любого множества всех точек называется прямой (линией), проходящей через 0 и точка 0 называется началом (координат).

Подпространством в называют всякое подмножество обладающее следующими свойствами;

Чтобы понять, что это означает геометрически, рассмотрим случай пространства Условие (2.3) говорит, что если то и вся прямая, проходящая через х и 0, лежит в условие (2.2) говорит, что вместе со всякими двумя точками, лежащими в в лежит также и вершина соответствующего параллелограмма. Возможно несколько случаев.

(a) . Это, конечно, подпространство.

Если то можно указать в точку Тогда прямая, проходящая через и 0, также лежит в Если этой прямой всё и исчерпывается, то

(b) — прямая, проходящая через 0.

Рис. 2.3.

В противном случае существует точка не лежащая на прямой Тогда прямая, проходящая через 0 и у, лежит в равно как и вершины всех параллелограммов со сторонами на этих двух прямых, т. е. точки для Ясно, что мы получим так все точки плоскости, проходящей через 0, х и у (рис. 2.3). Если этим исчерпывается, то

(c) — плоскость, проходящая через 0.

Наконец, может содержать какую-нибудь точку вне этой плоскости. Картинка, подобная изображенной на рис. 2.3, но с тремя прямыми и с параллелепипедами вместо параллелограммов, показывает, что Следовательно, последняя возможность такова:

Итак, подпространства в — это либо точки (начало), либо прямая или плоскость, содержащая начало, либо само Интуитивно это „плоские" подмножества, содержащие начало, и их можно классифицировать так: нульмерные (одно лишь начало), одномерные (прямые), двумерные (плоскости) и трехмерные Чтобы обобщить эти понятия и сделать их точными, введем немного алгебры.

Множество точек линейно-зависимо, если существуют такие скаляры не все равные нулю, что

Если таких нет (или, иначе говоря, если из указанного равенства вытекает, что все равны нулю), то рассматриваемое множество точек называется линейно-независимым.

Геометрически, две точки линейно-независимы, если ни одна из них не лежит на прямой, проходящей через другую и 0; три точки линейно-независимы, если никакая из них не лежит на плоскости, проходящей через две другие и 0; и т. д.

Говорят, что множество точек порождает подпространство если каждый элемент из может быть записан как линейная комбинация

и если все такие линейные комбинации лежат в (или, эквивалентно, каждая точка лежит в Базисом подпространства называется всякое линейно-независимое

множество элементов, порождающее Размерность — это число элементов в базисе (важная теорема утверждает, что это число не зависит от выбора базиса). Кроме того, принимается соглашение, что имеет размерность 0. Для размерности используется обозначение

Иногда нам придется обращаться к бесконечномерным пространствам, т. е. тем, в которых нет конечного базиса. (Например, таково пространство всех многочленов от х: в любом конечном наборе многочленов имеется многочлен наибольшей степени, скажем степени и уже нельзя представить в виде линейной комбинации многочленов из этого набора.) Но большей частью нам удастся избежать технических осложнений, которые здесь возникают.

Можно доказать, что размерность произвольного подпространства в должна удовлетворять условию

и что любая размерность в этом диапазоне действительно реализуется при соответствующем выборе Как правило, выбор неединствен, но если то а если то Разность называют коразмерностью подпространства в Кобазисом в называется всякое множество векторов образующее вместе с некоторым базисом для базис для всего Ясно, что должно равняться коразмерности Подчеркнем, что кобазис, как и базис, не определен однозначно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление