Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5 Катастрофа бабочки

Деформация бабочки

исследуется совершенно так же; формулы длиннее, но в принципе ничего нового, и мы не будем их здесь воспроизводить. Тип -струи, отвечающей данным значениям переменных управления, определяет некоторое разбиение

пространства координаты в котором представляют члены второй, третьей, четвертой и пятой степени в тейлоровском расложении; снова мы получаем флаг

(вложите рис. 9.3 в новую ось представляйте себе как время, тогда рис. 9.3 отвечает настоящему, а по обе стороны от него лежат прошлое и будущее). В начале мы имеем точку бабочки типа , на прямой — ласточкины хвосты ; те в свою очередь лежат на плоскости сборок (стандартные сборки по одну сторону прямой и двойственные по другую); эта плоскость лежит в пространстве складок ; с одной стороны ее (в прошлом) располагаются морсовские максимумы, с другой (в будущем) — морсовские минимумы. Эта структура переносится с помощью формул, которые можно явно выписать на многообразие катастрофы. Это последнее отображается в С весьма сложным образом, с самопересечениями и с особенностями других различных типов; бифуркационное множество лучше всего изображать с помощью двумерного семейства двумерных сечений. На рис. 9.9, заимствованном у Вудкока и Постона [20], показан вид сечений, отвечающих различным постоянным и рассматриваемых в плоскости Следуя Зиману [44], действие этих четырех параметров управления можно грубо описать следующим образом.

При сечение выглядит как бифуркационное множество катастрофы сборки Уитни с управляющими

Рис. 9.7.

Рис. 9.8

Рис. 9.9

Рис. 9.10. Бабочка по К? Ениху. (Из книги Брё-кера и Ландера 19].)

Рис. 9.11

Рис. 9.12

параметрами с и Изменение приводит к тому, что вся картина наклоняется в ту или иную сторону, причем направление наклона зависит от знака Когда мы переходим в область отрицательных значений а, это приводит к существенно более сложной картине с карманом. Теперь изменение вызывает, помимо качания из стороны в сторону, следующее: та или другая сторона кармана сжимается, превращаясь в подобие ласточкина хвоста, а затем исчезает — и снова остается лишь кривая с острием.

На рис. 9.10 показан другой способ представления этой геометрической формы, заимствованный у Брёкера и Ландера [9]. На этот раз точка управления описываете плоскости единичную окружность, и мы наносим на рисунок соответствующие сечения в плоскости Кроме того, в плоскости отмечены кривые, при переходе через которые качественная картина сечения изменяется.

Полезно нарисовать также и некоторые трехмерные сечения, составляя их из двухмерных сечений рис. 9.9; результат показан на рис. 9.11.

Типы функций (потенциалов), отвечающие некоторым представительным в смысле расположения относительно В точкам, показаны на рис. 9.12. Расположение многообразия катастрофы над бифуркационным множеством иллюстрируется парой типичных сечений, изображенных на рис. 9.13. Отметим пятикратное накрытие кармана, отвечающее тому факту, что многочлен шестой степени может иметь три различных минимума и два максимума (или наоборот, в двойственном случае).

Этим способом можно легко проанализировать всё каспоидное семейство, и последовательность сечений и прочее развивается именно так, как и следует ожидать (см., например, Вудкока и Постона [20] или Зимана [7]). Но нас теперь ждет более интересное семейство — омбилики.

Рис. 9.13

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление