Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4 Катастрофа ласточкина хвоста

В этом случае деформация такова:

и М задается уравнением

Принимая за параметры карты для М с параметризацией

имеем

Запишем разложение Тейлора:

Тейлоровские коэффициенты принимаем за координаты:

Это значит, что в качестве карты для М может быть взята гиперплоскость в пространстве т. е. по существу

Рис. 9.3

Рис. 9.4

пространство эта новая карта связана со старой картой преобразованием

Квадратичный член вырождается в том и только том случае, когда что определяет координатную плоскость . В этой плоскости -струя имеет вид , если только вдобавок и не обращается в нуль. Условие задает ось на ней 4-струя имеет тип или , если только не равно 0. Наконец, в начале мы имеем исходную деформируемую -струю . В итоге пространство разбивается согласно локальным типам функций, как показано на рис. 9.3. Снова мы получаем флаг подпространств

Точка ласточкина хвоста (начало) лежит посередине прямой сборок, внизу — двойственные сборки, вверху — стандартные. Эта прямая лежит в плоскости складок. Спереди от плоскости находятся морсовские минимумы, сзади — максимумы.

С помощью (9.3) мы переносим эту структуру и в пространство а оттуда она переносится также и на М с помощью (9.2). Фактически мы имеем следующую параметризацию М посредством

особое множество задается приравниванием нулю, что дает

а высшие вырождения происходят при т. е. на кривой

(сама точка ласточкина хвоста лежит, конечно, в начале).

Одновременно бифуркационное множество параметризуется с помощью и как множество точек

Линия сборок, естественно, получается как проекция кривой (9.6) на С; это будет кривая, имеющая следующее параметрическое задание (при помощи параметра ):

Рис. 9.5

Рис. 9.6

Легко видеть, что эта кривая должна иметь такой вид, как на рис. 9.4 (скажем, ясно, что а и с должны быть отрицательными, и очевидны порядки скоростей роста координат с ростом ). Исследовать форму поверхности (9.7) можно, беря сечения при фиксированных а; мы получим семейство кривых, типичные представители которых изображены на рис. 9.5. В результате становится ясно, что бифуркационное множество имеет такой вид, как показано на рис. 9.6. Имеется линия самопересечения (вдоль которой функция имеет две различные точки перегиба, соответственно двум кускам плоскости складок), она имеет форму параболы с вершиной в начале; вторая половина параболы, иногда называемая усом, не входит в бифуркационное множество, но ответственна за некоторые свойства над полем комплексных чисел (см. об этом у Постона и Стюарта [25], стр. 130).

Отыскать кривую самопересечения можно следующим простым способом. Если у функции имеются две точки перегиба, то ее производная

представляет собой точный квадрат, скажем

Сравнивая коэффициенты, видим, что (из сравнения кубических членов), а значит далее, Исключая получаем уравнение нашей кривой: Но для того чтобы корни производной оказались вещественными, должно быть отрицательным, значит и а отрицательно.

Вид графиков функций от х (потенциалов), отвечающих некоторым представительным, в смысле их расположения относительно бифуркационного множества, точкам из С, показан на рис. 9.7, а то, как многообразие катастрофы располагается над бифуркационным множеством, видно по двум представительным сечениям, изображенным на рис. 9.8.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление