Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2 Катастрофа складки

Метод, который мы применим, оказывается особенно простым в случае этой простейшей из катастроф. Стандартная деформация задается формулой

числовой коэффициент введен, чтобы упростить дальнейшие вычисления. Многообразие катастрофы М определяется уравнением

Это уравнение подсказывает, что в качестве карты для М нужно взять координату общая точка многообразия М записывается в виде

Отвечающая этой точке функция на имеет следующее раз ложение в ряд Тейлора:

Квадратичный член

невырожден при но при он вырожден. Поэтому особое множество задается равенством и состоит из одной-единственной точки При квадратичный член положителен и потенциал V имеет минимум, при потенциал имеет максимум.

Рис. 9.1

Всю геометрию катастрофы суммирует рис. 9.1. Многообразие катастрофы представляет собою параболу, бифуркационное множество состоит из одной точки; налево от нее имеются два состояния (максимум и минимум), направо — ни одного.

3 Катастрофа сборки

Мы уже проанализировали ее в гл. 5 „в лоб“, рутинным образом. Теперь посмотрим, как наш нынешний метод приведет к тому же результату. Стандартной деформацией служит

и многообразие катастрофы задается уравнением

В качестве параметров карты для М можно использовать общая точка М имеет координаты

и следовательно, эта карта записывается так:

Найдем тейлоровское разложение:

Рис. 9.2

Обозначим через коэффициенты квадратичного, кубического и квартичного членов:

Эти выражения заставляют нас поменять карту и взять в качестве карты для М плоскость или, что то же самое, координаты и старые координаты выражаются через новые так:

Квадратичный член разложения вырожден при это условие задает ось в плоскости Ее образом в М служит кривая складок, представимая с помощью карты : при мы имеем так что Если то мы имеем локальный минимум, если локальный максимум.

При мы, согласно § 3 гл. 4, должны перейти к кубическим членам. Кубический член будет определять тип критической точки, покуда его коэффициент Если же и (начало в пространстве то мы получаем тип . Все это суммировано на рис. 9.2 (а) и

Образ в М прямой задается, как мы видели, равенством подставляя это в (9.1), получаем параметризацию линии складки с помощью х:

Это согласуется с § 2 гл. 5. Бифуркационное множество есть образ этой кривой в С, т. е. множество точек

Мы можем принять это равенство в качестве параметризации В, а можем, исключив х, получить знакомое уравнение

Геометрическая картина представлена на рис. 9.2 (с) и (d), и ее можно сравнить с рис. 5.6.

Заметьте, как использование тейлоровских коэффициентов в качестве координат карты вскрывает структуру М как образа плоскости, на которой имеется прямая точек складки (где -струя функции принимает вид характеристический для складки), а на этой прямой имеется точка, дающая точку сборки многообразия катастрофы (в этой

точке мы и имеем характеристическую для катастрофы сборки). Таким образом, существенные черты М задаются флагом, т. е. последовательностью подпространств

Бифуркационное множество также отражает эту структуру, хотя оно имеет и дополнительные черты, связанные с особенностями отображения катастрофы, например острие в 0. Точная геометрическая картина того, как М располагается над С, также отражает характерные свойства струй: прямая кубических струй, дающих тип складки, действительно задает в М линию складок. Это — следствие универсальности катастрофы складки как деформации функции , и данное обстоятельство является общим.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление