Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9. ГЕОМЕТРИЯ СЕМИ ПЕРВЫХ КАТАСТРОФ

Отправляясь от стандартных формул для элементарных катастроф, мы теперь изучим различные геометрические образы, которые с ними связываются. Вместо того рутинного анализа „голыми руками", который был применен нами для случая катастрофы сборки в гл. 5, воспользуемся теперь более тонким методом Зимана 17], в котором главном объектом изучения служит форма функции вблизи данной точки на многообразии катастрофы. Мы сосредоточим свое внимание на традиционных семи элементарных катастрофах (не различая двойственные, см. гл. 7) коразмерности во-первых, потому что так приходится делать (высшие катастрофы потребовали бы гораздо больше картинок, да и, кроме того, если не считать каспоидов, они пока не совсем еще хорошо поняты), а во-вторых, это почти все, что нам потребуется в главах о приложениях. Единственное серьезное исключение составляет семейство катастроф двойной сборки, но их коразмерность равна 8, и единственный путь к ним лежит через катастрофы меньшей коразмерности, в частности через катастрофы коразмерностей 5 и 6. В совместной с Вудкоком книге [39] мы надеемся дать более полное описание „высших катастроф". По геометрии катастроф можно посмотреть также работы Брёкера и Ландера 19], Тома [42], Вудкока и Постона [20] и Зимана [7]; один более изощренный подход, дающий массу информации в компактном виде, развит Кэллаханом [43]. Им же в [43а] описан прекрасный способ представлять себе геометрию в многомерном случае.

1 Объекты изучения

Начнем с того, что перечислим основные связываемые с катастрофами структуры, большинство из которых мы уже встречали в примерах. Мы исходим из семейства функций

Здесь — некоторое многообразие, обычно это другое многообразие, обычно Выбирая из названий, перечисленных в последнем параграфе предыдущей главы, наиболее подходящие для данного случая, будем сейчас называть пространством состояний, — пространством управления. Число это размерность деформации-, для стандартных универсальных форм размерность деформации совпадает с коразмерностью в 0 функции, подвергаемой деформации. (Поскольку теорема классификации чисто локальна, мы на самом деле интересуемся только тем, что происходит вблизи начала; но для стандартных форм это отражается в их поведении во всем пространстве как будет видно из дальнейших вычислений и картинок.) Обозначения и С сохраняют указанный смысл на протяжении всей этой главы.

Многообразием катастрофы М называется подмножество в определенное уравнением

где ; это — множество всех критических точек всех потенциалов из нашего семейства V. (Многообразие катастрофы действительно является многообразием, если семейство V универсально как деформация; фактически это одно из следствий трансверсальности. Пример из § 2 гл. 6 показывает, что что-нибудь в таком роде предположить необходимо. Поскольку элементарные катастрофы универсальны по построению, в нашем случае М всегда будет многообразием.)

Отображением катастрофы называется ограничение на М естественной проекции

Особым множеством называется подмножество в М, состоящее из особых точек отображения — точек, где особо, т. е. где ранг производной меньше чем

Образ особого множества называется бифуркационным множеством В.

Нетрудно показать, подсчитав что есть множество тех точек в которых имеет вырожденную критическую точку. Значит, В представляет собой место, где меняется число и природа критических точек; ввиду структурной устойчивости морсовских функций такое изменение может произойти лишь при переходе через вырожденную критическую точку. Конечно, в каждом данном случае это может быть проверено прямым подсчетом.

В большинстве приложений наиболее важно именно бифуркационное множество, так как оно лежит в пространстве управления, а следовательно „наблюдаемо", и так как все скачки, происходящие в соответствии с принципом промедления, происходят на нем. Но в зависимости от того, какое конкретное приложение мы рассматриваем, иногда в игру вступает больше (а иногда и меньше) геометрических характеристик катастрофы.

Ради упрощения обозначений мы используем для переменных состояния обозначения х, у вместо как в гл. 7, а для переменных управления — вместо

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление