Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

14 Необходимые замечания о терминологии

Имеется несколько конкурирующих терминологических систем, созданных для теории катастроф, и один прекрасный аргумент против абсолютной стандартизации: потребности меняются. (У Золотого восторга больше срок хранения, но это не оправдывает введенного в странах Общего

рынка запрета на Оранжевый пепин Кокса, который вкуснее; возвращаясь к терминологии: новый французский закон, вводящий штраф за употребление термина „световой год“, - удар по геометрии пространства-времени.) Мы ставим себе задачей познакомить читателя с различными принятыми словоупотреблениями и не связываем себя с одним определенным языком, достоинства которого где-нибудь да обернутся недостатками.

Перед нами обозначение для семейства функций:

Том называет пространством внутренних переменных, имея в виду некий не полностью известный процесс, происходящий в различных экземплярах который управляется посредством функции и на который оказывает влияние точка из — пространства внешних переменных (на наших рисунках каждый экземпляр сидит над своей точкой). Эти названия особенно подходят в тех случаях, когда точки из соответствуют точкам физического пространства, как, например, в оптике или биологии.

Зиман, исходивший из рассмотрения систем, где можно что-то изменять (скажем, температуру или положение конца резинки в машине Зимана) и затем наблюдать, что при этом происходит, ввел название „управляющие переменные (или параметры)" для точек из и „поведенческие переменные" — для точек из . В некоторых приложениях этот язык слишком хорошо отвечает сути дела, чтобы его можно было так просто отбросить. Соответственно именуется пространством управления, — пространством поведения.

В обеих этих терминологических системах иногда называют пространством состояний. Это название следует принимать с осторожностью, так как смысл слова „состояние" меняется от лаборатории к лаборатории.

В чисто математическом контексте (как, скажем, в настоящей главе), а иногда и в приложениях естественно называть пространством деформации, а его точки (или их координаты) параметрами деформации.

В соответствии с тем, какая терминология принята, число именуют внешней размерностью, либо размерностью управления, либо размерностью деформации. Бывает, что ее называют также коразмерностью, но поскольку это вступает в противоречие с более общепринятым значением этого

термина, в котором мы его использовали до сих пор, мы избегаем этого словоупотребления. (Когда одна и та же вещь фигурирует под разными именами, требуется лишь память; но когда разные вещи фигурируют под одним и тем же именем, требуется уже расшифровка.)

Применяя лемму о расщеплении для представления функции вблизи точки, где она имеет коранг в виде

(возможно также, с параметрами из для мы имеем основание называть существенными,

— несущественными переменными. (Томпсон и Хант [23, 105] говорят об активных и пассивных переменных.) Это расщепление, конечно, отнюдь не единственно. Чтобы избежать ненужных алгебраических осложнений, рассмотрим вырожденный случай Пусть новые координаты будут Тогда принимает вид и хотя новая „существенная ось“, задаваемая уравнением (ось совпадает со старой (осью новая „несущественная ось“, задаваемая уравнением (ось и), представляет собой прямую которая уже не совпадает со старой (осью Постаравшись немного больше, мы могли бы еще и изогнуть „существенную ось“ как угодно, лишь бы она оставалась касательной к прежнему направлению в начале.

Наконец, отметим, что особенности, встречающиеся в -мерном семействе, будут в основном, даже если отвлечься от регулярных и морсовских точек, коразмерности меньшей, чем (Если то в типичном случае вообще не будет особенностей большей коразмерности.) Например, если закрепленному нижнему концу резинки в машине Зимана позволить двигаться по окружности вокруг колесика машины и считать это новым параметром управления, то это не даст никаких новых явлений. С помощью перепараметризации мы можем полностью устранить влияние этого нового параметра. Согласно теореме 8.6, мы можем записать всякое -параметрическое семейство вблизи точки, где оно трансверсально пересекает особенность коразмерности с в форме, в которой фигурируют лишь с параметров управления. (Этот факт уже был использован в § 4 гл. 7.) После такого приведения можно назвать исчезнувшие координаты в лишними или немыми параметрами управления. Это расщепление параметров управления также неединственно (что может оказаться очень важным) и всякий раз должно явно оговариваться, как мы увидим в § 3 гл. 17.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление