Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13. Примеры и вычисления

(а) Если функция имеёт в 0 критическую точку с невырожденной матрицей Гессе, то с помощью линейной замены координат ее можно представить в виде

Следовательно, при

состоит из всевозможных сумм произведений квадратичных многочленов на е. из всех кубик.

Поэтому

согласно теореме 8.1, является сильно -определенной. Таким образом, теорема 8.1 служит обобщением леммы Морса.

Одномерный вариант приема Сирсмы приводит к диаграмме 8.19, поскольку Следовательно, является -определенной, как мы это уже доказывали более мучительно в теореме 4.4, и обладает универсальной деформацией

как и утверждалось в гл. 7 (общая каспоидная катастрофа).

Используя прием Сирсмы, мы получаем рис. 8.20. Одночлен не содержится в а значит и подавно не содержится в меньших подпространствах поэтому, согласно теореме не является -определенной. Но она является сильно -определенной, а ее коразмерность равна 15.

Этот пример показывает ложность утверждения, которое иногда приходится слышать, что если первый ненулевой член положительного порядка — однородный

Рис. 8.19

Рис. 8.20

многочлен степени — невырожден, то это гарантирует -определенность. Несостоятельность такого рода критериев определенности видна также на следующем примере.

(d) . Квадратичная часть вырожденна, значит, эта функция не будет -определенной. Проверим ее на -определенность:

Отсекая степени выше 4, имеем

Рис. 8.21

Тени на диаграмме Сирсмы идут, следовательно, так, как показано на рис. 8.21. „Усеченные" тени не покрывают , выписав все произведения, усеченные до степени 4:

мы сразу видим, что не лежит в Значит, не является сильно -определенной. Но

что видно, если произвести усечение теней этажом выше, и мы не можем вывести из теоремы 8.2, что не будет -определенной в обычном смысле. Можно было бы попытаться применить здесь теорему 8.4 (что мы и рекомендуем проделать читателю), но вместо этого мы проверим на 4-определенность.

Отсекая степени выше пяти, имеем

И мы видим из диаграммы Сирсмы (рис. 8.21), что является сильно 4-определенной. Имеются три одночлена вне тени, но поскольку лежит в и

то как так и дают кобазис для (Очевидно, никакой многочлен один не образует кобазиса.) Поэтому и мы получаем, что эквивалентна ибо, согласно табл. 8.1, лишь функции, эквивалентные этим формам, имеют такую коразмерность! В частности, не будет и -определенной, ибо функции не являются таковыми.

В силу сильвестрова закона инерции, примененного к матрице Гессе, наш тип должен иметь вид Знак перед у привел бы к строгому локальному минимуму в точке но вдоль вещественной кривой

мы имеем

Значит, типом служит и версальная деформация эквивалентна двойственной катастрофе сборки.

Если нам требуется найти замену, осуществляющую приведение к такой форме, мы можем следующим образом применить алгоритм нормализации. Матрица Гессе

уже диагональна, поэтому полагаем

Выразим х, у через

тому единственному решению уравнения которое обращается в нуль, когда обращаются в нуль и

Поэтому

(Таким образом, с точностью до четвертого порядка имеет в координатах такое же выражение, как и в координатах Этот факт можно было бы установить и без вычислений, но все же лучше провести эти вычисления для примера, так как они уже были бы существенны, если бы, например, оказалась лишь -определенной.)

Поскольку в отсутствуют члены, зависящие лишь от у, мы имеем

а значит

следовательно,

и

(Отметим, что в этих координатах мы получаем

откуда сразу видно, что не -определенна: никакой заменой невозможно перевести функцию с ее строгим минимумом в начале, в

Теперь устраним члены четвертой степени по

Вместо того чтобы решать кубическое уравнение

относительно заметим, что представляет собой однородный многочлен шестой степени от а значит, является функцией шестого порядка от и потому не может оказать влияния на вид (Ясно, что при более высоких алгебра может усложниться. Однако, даже если

общие решения, выражающие старые координаты через новые в виде рядов, не удается получить, в качестве последнего средства всегда можно прибегнуть к грубой силе: если нам нужно найти коэффициенты до порядка, скажем, то подставляем общие разложения до порядка в уравнение и приравниваем коэффициенты. Вопросы сходимости, вид общего члена и т. не имеют сюда никакого отношения.)

В результате мы получаем

и поскольку является 4-определенной, согласно проведенному выше вычислению (это можно также довольно просто показать, используя пример соответствующая гладкая подгонка координат приведет локально к виду

(е) . Эта функция не -определенна, в чем можно убедиться, привлекая либо теорему 8.2, либо теорему 8.4 (с ); вычисления в обоих случаях одинаковы. А именно, имеем (при

Так как

то порождается многочленами

и, очевидно, не содержит значит, и не будет -определенной (даже лишь локально).

Используя теорему 8.4, проверим на 4-определенность. Так как добавление изменяет лишь члены степени пять и выше в

(т. е. на самом деле только члены пятой степени), вычисления не слишком громоздки. Для любого мы имеем

причем указанные производные от Р имеют степень 4. Поэтому пространство порождается многочленами

Но многочлен х имеет пятую степень и делится на х, значит, он представим в виде линейной комбинации одночленов которые все имеются в приведенном выше списке. Следовательно, х лежит в нашем подпространстве, значит, там же лежит и а потому и Таким образом,

является 4-определенной.

Этот последний результат был впервые отмечен Сирсмой 133] в качестве контрпримера к гипотезе Зимана, что в теореме 8.1 „если и только если" справедливо и без Поучительно попробовать провести на этом примере данное Дёйстерматом ([41], лемма 2.13) „доказательство" этого утверждения.

(f) Дальнейшими примерами могут служить вычисления, проведенные в § 7, а также в нашей книге [25] (стр. 77—109). Мы увидим эти методы „в действии" в главах о приложениях, см., в частности, стр. 274, 299, 313, 318, 369, 376, 384, 408, 421, 428, 447.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление