Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12 Сводка результатов и вычислительных приемов

Мы даем здесь голый скелет рассмотренных выше лительных приемов для тех, кто предпочел пропустить наше наводящее изложение, а также для удобства ссылок. В некоторых случаях ради краткости мы даже втиснули теоремы в пункт „определения". Подробности можно найти в предыдущих параграфах. Мы используем обозначения, введенные в § 7 гл. 3.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Для любой гладкой функции

обозначает ее тейлоровское разложение до порядка — это без свободного члена.

называется -определенной в 0, если любая гладкая функция вида где имеет порядок в 0, может быть локально представлена как где у: — гладкая обратимая замена координат.

называется сильно -определенной в 0, если, кроме того, у всегда можно выбрать так, чтобы

называется локально -определенной в 0, если существует такое что для любой гладкой функции

удовлетворяющей условию

функцию можно локально представить как где у: — гладкая обратимая локальная замена координат.

Б обозначает векторное пространство многочленов от степени

— это подпространство в состоящее из многочленов с нулевым свободным членом.

— подпространство в состоящее из многочленов с нулевым линейным членом.

— векторное пространство однородных многочленов от степени

— подпространство в порожденное всеми многочленами вида где . Оно совпадает с

что проверяется почленным сравнением.

— подпространство в порожденное всеми многочленами вида

где — одночлен для которого

— подпространство в порожденное всеми многочленами вида

где — одночлен

Коразмерность функции в 0 — это коразмерность подпространства в У для любого для которого является -определенной.

-деформацией в 0 называется всякая функция

определенная вблизи начала, для которой

-деформация называется индуцированной из деформации с помощью трех отображений, определенных вблизи начала:

если выполнено условие

(Это лишь „конспект" полного определения, которое можно найти в § 7.)

Две -деформации и функции в 0 называются сильно эквивалентными, если каждая из них может быть индуцирована из другой с помощью отображений, удовлетворяющих условию

-деформация функции в 0 называется версальной, если из нее могут быть индуцированы все прочие деформации в 0.

Она называется универсальной, если она версальна и

Для всякой деформации функции мы полагаем

обозначает подпространство в натянутое на .

ТЕОРЕМА 8.1. Функция является сильно -определенной, если и только если

ТЕОРЕМА 8.2. Если является -определенной, то

ТЕОРЕМА 8.3. Функция является локально -определенной в том и только том случае, когда

ТЕОРЕМА 8.4. Функция является -определенной, если и только если для каждого

ТЕОРЕМА 8.5. Пусть коразмерность функции в начале равна с. Тогда любое малое возмущение функции имеет вблизи начала не более критических точек.

ТЕОРЕМА 8.6. Если функция является -определенной, то ее -деформация (при любом ) версальна в том и только том случае, когда оказываются трансверсальными подпространствами в У.

(Отметим, что совпадает с но не обязательно с так что использование этого критерия требует привлечения а не только как ошибочно утверждалось в первых тиражах нашей книги [25], стр. 98.)

CЛЕДСТВИЕ. Для всякой -определенной функции универсальную деформацию можно построить, найдя какой-либо кобазис гл. для подпространства и положив

Любая версальная деформация функции сильно эквивалентна усеченной деформации

при условии, что сильно -определенна, и

Из этих трех случаев по крайней мере один должен иметь место.

АЛГОРИТМ для приведения функции к расщепленному виду. Лемма расщепления гл. 4) гарантирует нам существование удобной системы координат, в которой координаты распределены между квадратичной и вырожденной частями. Алгоритм для отыскания соответствующей замены координат можно было бы получить на основе приведенного там доказательства; Томпсон и Хант дают в [23]

превосходное изложение другого способа; Мэгнус в [1011 описывает явный метод, приспособленный для бесконечномерного случая. (Когда известно, что что-то существует, найдутся и всевозможные методы для его отыскания; в этом и состоит практическая сила по внешности „неколичественных" доказательств существования.) Мы изложим здесь один систематический метод для будущего употребления, не утверждая, что он всегда оказывается наилучшим.

(a) Если функция является -определенной, то все члены степени возникающие в последующих операциях, можно сразу опускать. Если, далее, после применения теорем 8.1-8.4 нормализованная форма струи окажется -определенной, то такое усечение, проводимое в процессе нормализации, оправдывается

При помощи линейной замены переменных

диагонализуем матрицу Гессе функции приводя ее к виду

где . (Эти могут быть сделаны, если удобно, равными ±1, как в § 5 гл. 2.) Значит,

(левая и правая части равны как функции от При этом будет всё еще многочленом от всех но уже без членов степени

Устраняем сперва смешанный кубический член следующим приемом. Соберем все кубические члены, содержащие , и перепишем их сумму в виде

так что оказывается однородной квадрикой от Из оставшихся кубических членов отберем те, в которые

входит и запишем их сумму как

продолжая таким же образом, придем к

Тогда

причем в уже не входят кубические члены, содержащие

(d) Полагаем

Тогда при

Поэтому

где

не имеет кубических членов от поскольку все являются квартиками. К сожалению, правая часть здесь еще записана через старые координаты, и большая часть работы падает как раз на выполнение следующих пунктов:

(e) Находим выражения (до порядков, необходимых, чтобы и получили порядок через вблизи начала и подставляем результат в с тем чтобы (8.5) оказалось полностью записанным через

(f) Далее устраняем в (8.5) члены четвертой степени, содержащей собирая те из них, которые содержат в сумму

где — однородная кубика, полагая

По индукции мы получаем таким образом полиномиальную замену координат, в результате которой приводится к нормальному виду

Если функция является -определенной (что можно установить с помощью приведенных выше теорем) в х-координатах х или же в -координатах, то найдется гладкая замена координат приводящая саму к нормальному виду (8.6).

В локальных -координатах это будет точным выражением для а не только приближением. Тем самым любое локальное свойство (ее коранг; является ли локальным минимумом; действие малых возмущений) может быть аккуратным образом изучено с помощью нормализованного выражения.

ПРИЕМ СИРСМЫ. Этот прием часто бывает удобен в случае функций двух переменных. Практически его применяют к струе при некотором если не многочлен. Его следует воспринимать не как замену предыдущих правил, а как их стенограмму, при пользовании которой надо постоянно держать их в голове. Более тонкий и сильный вариант этого приема был дан Арнольдом.

Метод наиболее прост в случае, когда частные производные

и

содержат обе лишь по одному члену. Пусть, скажем,

Нарисуем „тени“, отбрасываемые членами на диаграмме, представленной на рис. 8.15. Усеченные тени на диаграмме (имеющие форму содержат лишь многочлены из при некотором Вместе они содержат весь пятый слой, и, в силу теоремы оказывается 4-определенной.

Полные тени содержат многочлены из для некоторого к. Вне теней остаются лишь члены у и причем ни один из них не выражается через другой. Поэтому

Рис. 8.15

и очевидной универсальной деформацией служит

Аналогично для из рис. 8.16 сразу видно, что это 4-определенная функция коразмерности 8 с универсальной деформацией

Если — не одночлены, то дело несколько усложняется. К примеру, пусть

Нужно отыскать комбинации от которых можно отбросить тени, например

Так как сюда уже входят произведения на линейные сомножители, наши тени, как только мы спустимся этажом ниже, будут содержать произведения на квадратичные члены. Поэтому при вычислении меры определенности их можно „усечь" выше, чем тени от самих Согласно

Рис. 8.16

Рис. 8.17

рис. 8.17, функция является -определенной. Ее коразмерность равна только трем, так как , значит, система не образует кобазиса, не будучи минимальной. Множество где — любая квадрика, не равная скалярному кратному (например, уже является минимальным, поэтому

3, и универсальная деформация записывается в виде

Еще один пример:

На этот раз не будет подмножеством ни для какого так что — неконечно-определенная функция коразмерности

Заметим, что для коразмерность конечна, а именно равна как мы того и ожидали (для в § 5 гл. 7.

Рис. 8.18

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление