Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11. Некоторые неравенства

Число определенности и коразмерность обе конечны, если хотя бы одна из них конечна, и при этом

Иногда это бывает полезно иметь в виду; доказательство требует леммы Накаямы. Более важным является

соотношение между и корангом особенности Возьмем в „расщепленной" форме (возможность приведения к которой гарантируется леммой расщепления (гл. 4) и которую можно найти с помощью алгоритма следующего параграфа)

здесь — многочлен порядка и степени Для имеем значит, все многочлены из имеющие сомножителем хотя бы одну из этих переменных лежат в Следовательно, в могут „отсутствовать" лишь полиномиальные направления, выразимые исключительно через и потому лишь они могут влиять на коразмерность. Таким образом, мы можем работать с

Имеется линейно-независимых линейных одночленов от квадратичных. Поскольку свободно от квадратичных членов, касательные направления

не имеют линейных членов. Следовательно, только эти касательные векторы и их линейные (не полиномиальные) комбинации задают линейные и квадратичные направления. Поэтому таких направлений не больше (меньше, если некоторые из получающихся направлений линейно зависимы), и нам нужно еще по крайней мере

направлений, чтобы получить все линейные и квадратичные направления деформации. Отсюда

В сотрудничестве с Робертом Мэгнусом мы открыли недавно еще одно неравенство, упоминаний о котором не нашли в литературе. Немного комбинаторики и правила § 7 приводят к соотношению

Это неравенство довольно грубо; с его помощью нельзя, например, обнаружить тот факт, что не существует 3-определенных

функций от четырех существенных переменных (скажем, функция является лишь 4-определенной). Было бы интересно уточнить его и исследовать асимптотическое поведение точной нижней грани а с ростом .

Однако даже в этой форме оно показывает, что топологически правильное описание системы, имеющей 101а существенных переменных, с помощью отрезка ряда Тейлора потребовало бы по меньшей мере всех членов до миллионного порядка включительно. Это дает основание предположить (хотя для доказательства нужны другие методы), что в системе, имеющей бесконечное число мод выпучивания, ни при каком конечном невозможна -определенность в точке выпучивания. Это бросает тень сомнения на все методы, использующие полиномиальные аппроксимации, будь то теория катастроф или метод конечных элементов. По-видимому, чтобы прояснить ситуацию, нужно привлечь иные топологические средства.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление