Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10 Числа, ассоциированные с особенностями

Как мы уже отмечали в § 7, гораздо легче найти преобразование, приводящее катастрофу (возникшую в теории некоторой системы) к стандартной форме, если наперед знать, к какой форме стремиться. В противном случае приходится обращаться ко всей полиномиальной алгебре, используемой для классификации катастроф.

Оказывается, что в маломерных случаях весьма эффективны численные инварианты, связанные с особенностями, для которых катастрофа служит деформацией, и не зависящие от выбора координат, причем эти инварианты доставляются теми же самыми линейными критериями, которые были использованы нами в теоремах 8.1-8.4.

Мы уже определили для особенности коранг, коразмерность и число определенности. Последнее, согласно

ТАБЛИЦА 8.1 Инварианты катастроф коразмерности (см. скан)

Есть много других чисел: право-левая коразмерность, число Кокстера число Долгачева и т. д., — приобретающих значение в высших коразмерностях; но мы не приводим здесь тех чисел, для которых не указали, как их вычислять. Обстоятельный обзор дан у Арнольда [40], где комплексная классификация проведена вплоть до коразмерности 14. Читателю очень рекомендуется заглянуть в эту статью, хотя бы лишь для того, чтобы увидеть, (а) какими сложными становятся классификации (Ь) что они все-таки еще возможны.

теореме 8.4, может быть определено алгебраически как

Аналогичным образом, опираясь на теорему 8.1, определим число сильной определенности как

Значения этих четырех чисел для особенностей коразмерности 5 приведены в табл. 8.1. Из таблицы видно, что для указанных коразмерностей все различные случаи полностью различимы с помощью этих чисел, за исключением пар (Это на самом деле и не удивительно, так как числа здесь в точности те же, что и в комплексном варианте теории, где каждая из пар сливается в одну особенность (, соответственно).) Для полноты мы укажем здесь „маломерную" процедуру для различения и этих случаев.

Часто бывает достаточно небольшой легкодоступной дополнительной информации, так как внешнее поведение


Рис. 8.14. (см. скан) Сечения деформации для (левый столбец) и для (правый столбец). (Любезно предоставлено Э. Э. Р, Вудкоком.)

особенностей при плюсе и при минусе совсем разное. Например, и допускают малые возмущения функции в результате которых исчезают нули вблизи начала, а не допускают таких возмущений. Как будет нами подробнее описано в § 9 гл. 12, для катастрофы возникающей в теории рассеяния, Берри предложил способ идентификации, основанный на том, что эта катастрофа имеет сечение с чего не бывает ни для одной другой катастрофы коразмерности Некоторые характерные сечения для катастроф показаны на рис. 8.14. Их бросающееся в глаза родство с катастрофами геометрия которых изучается в следующей главе, будет "детально проанализировано в книге Постона, Стюарта и Вудкока [39].

Аналитически можно действовать следующим образом. Приводим к виду

используя алгоритм нормализации из § 12. Если — особенность типа то является однородной кубикой, в которой можно выделить хотя бы один линейный множитель. Разделив на этот множитель, получим квадрику, и если она положительно- или отрицательно-определенная, то относится к типу , а если неопределенная, то к типу

Если — особенность типа то нормализация даст

где однородно степени Несложно отыскиваемой линейной заменой приводится к виду . В этих координатах принимает вид

где и — соответственно квадрика и квартика от Особенность относится к типу или в зависимости от того, будет ли или

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление