Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9 Сильная эквивалентность деформаций

Теорема 8.6 обеспечивает нам, в частности, следующее. Если представляет собой -деформацию -определенной функции имеющей коразмерность и если являются трансверсальными подпространствами в то эквивалентна усеченной деформации, обозначаемой нами через и определяемой равенством

Действительно, эти две деформации служат универсальными деформациями эквивалентных функций. (Мы могли бы взять справа если при этом получится версальная деформация, только тогда нужно отдельно проверять, что

Рис. 8.13

трансверсально к Можно было бы также использовать функции и не от х, а от новых координат в которых устраняются члены функции порядка ввиду -определенности такую замену можно было бы даже осуществить с помощью многочленов.) Но, как мы уже видели в § 1, когда вводили сильную -определенность, в пространстве деформации имеются некоторые особо важные направления, и мы хотели бы оставить их выделенными. Так, в большинстве приложений катастрофы сборки направление v разветвления сборки (рис. 8.13) имеет определяющее значение. Поэтому для точных приложений полезно в вычислительном отношении следующее понятие.

Две -деформации функции называются сильно эквивалентными, если одна из них индуцируется из другой с помощью отображений и у (см. § 7), таких что производная локального диффеоморфизма

в начале является тождественным отображением.

ТЕОРЕМА 8.7. Пусть сильно -определенная функция, Как вытекает из теоремы 8.1, в этом случае имеет место одно из включений

Тогда всякая версальная деформация функции сильно эквивалентна деформации

если соответственно

Заметьте, что вычисления, которые надо выполнить для проверки условий теоремы, требуют подсчета не большего

числа производных, чем раньше. Лишь при пользовании этим результатом нам нужно подсчитывать члены порядков и Результат принадлежит Мэгнусу [101]. В дальнейшем мы убедимся (см. § 1 гл. 12 и § 1 гл. 14) в его полезности для приложений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление