Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Для истинного понимания теории катастроф требуется хорошее ощущение геометрии пространства многих измерений, подкрепленное соответствующей алгебраической и аналитической техникой. Оно дает возможность применять геометрический подход в многомерном анализе — весьма важное обстоятельство, позволяющее мотивировать и упрощать вычисления, связывая их с геометрическими представлениями.

Первые несколько параграфов этой главы посвящены обзору необходимых фактов из линейной алгебры, представленных с геометрической точки зрения, часто отсутствующей в учебниках по «теории матриц». (Более подробное геометрическое изложение, с доказательствами и гораздо большим числом картинок, можно найти у Додсона и Постона [5], где, кроме того, излагается в том же духе и геометрия многомерного анализа.) Затем мы делаем наши первые, „классические" шаги в теории катастроф. Из всей этой теории больше всего была разрекламирована теорема классификации, упомянутая выше и рассматриваемая нами в гл. 7: с точностью до подходящей замены переменных имеется лишь небольшое число стандартных форм, „типичных" для многих явлений. Таким образом, координатные замены играют ключевую роль в нашей теории. Здесь мы покажем, как работают линейные замены, приводящие полиномиальные функции к стандартным выражениям, число которых невелико. Это будет служить одновременно и характерным примером „классификаций", которые эта теория позволяет получить в гораздо более сложных ситуациях, и в то же время существенной составляющей всего дальнейшего. В значительной части книги мы будем заниматься сведением более общих проблем к тем, которые решаются в этой главе.

1 Теоретико-множественные обозначения

Нам будет удобно использовать некоторые элементарные понятия теории множеств. Множество — это совокупность объектов (произвольной природы); эти объекты называются

элементами или точками множества. Запись

означает, что х есть элемент множества X. Множества, которые мы будем рассматривать, обычно будут множествами точек в многомерном пространстве. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым.

Говорят, что множество X есть подмножество другого множества Y, если каждый элемент X является элементом Y. Мы пишем в этом случае

и говорим также, что X содержится в Y или что Y содержит X. Множество всех элементов х, для которых выполнено данное свойство или условие обозначается так:

Объединение двух множеств X и Y определяется как

а их пересечение — как

Из произвольных элементов х, у можно образовать упорядоченную пару при этом , если и только если Декартово произведение двух множеств X и Y определяется по формуле

Мы используем стандартное обозначение для множества всех вещественных чисел.

Рис. 2.1

Декартовы произведения допускают геометрически наглядное истолкование. Например, если и

то можно представлять себе как множество точек (х, у, z) в трехмерном пространстве имеющее вид бвковой поверхности цилиндра (рис. 2.1).

Более общим является понятие упорядоченного набора из элементов (или

его можно считать принадлежащим к кратному декартову произведению

Одно из самых важных для нас понятий — понятие функции. Пусть X и Y — множества. Функцией с областью определения X и областью значений Y называется всякое правило, которое ставит в соответствие каждому некоторый единственный элемент Функции называют также отображениями. Мы пишем

и читаем эту запись так: есть функция из X в Говорят также, что отображает X в Y и переводит Когда речь идет о действии на элементы, мы используем другого вида стрелку, а именно пишем Образом функции называется подмножество

в Y. Образ подмножества относительно (или при) определяется как

Например, функция

переводит Функция переводящая определена только для положительных х. Таким образом,

есть функция, областью определения которой служит множество положительных чисел.

В выборе области значений имеется определенная свобода. Скажем, можно считать, что имеет областью значений не К, а

или любое другое множество, содержащее это множество. Обычно выбирают ту область, которая удобнее.

В традиционных учебниках функции определяют такими, например, словами: „рассмотрим функцию Мы в этом случае будем говорить о „функции , которая переводит Это позволяет нам использовать слегка неточный традиционный язык там, где всё ясно, сохраняя в то же время за собой право быть более педантичными, если благодаря этому можно избежать двусмысленности. На традиционном языке х часто именуют (независимой) переменной, и этот термин мы удерживаем как удобный. (Значение в традиционной терминологии называется зависимой переменной; этого термина мы избегаем, хотя и оставляем за собой право использовать по отношению к у слово „переменная".)

О функциях нескольких переменных мы говорим, когда имеем в виду функции, областью определения которых служит декартово произведение. Так, говоря о функции двух переменных

мы имеем в виду функцию с областью определения и областью значений переводящую Функция переменных — это просто функция

которая переводит

Пусть и две функции. Если для всех а? А, то мы можем определить композицию этих функций по формуле

Таким образом, является функцией из А в В частности, композиция всегда определена в случае

Если таковы, что

для всех а , то мы называем обратной функцией к и пишем

(Отметим, что многие из традиционных „обратных функций", таких как либо вовсе не являются функциями в нашем строгом смысле (будучи „многозначными"), либо должны быть определены на аккуратно подобранных областях.) Даже если и не имеет обратной функции, мы используем обозначение

для множества всех таких что здесь Y — произвольное подмножество в В.

Для мы определяем ограничение (или сужение) функции на X как функцию

для которой

Она отличается от только тем, что определена на меньшем множестве.

(Дальнейшие сведения относительно этих понятий и, в частности, нетрадиционных обозначений и терминологии можно найти в книге Стюарта и Толла [6].)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление