Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Трансверсальность и универсальность

На принятом нами в этой книге уровне мы не можем доказать теорему 8.6, но мы снова можем дать некоторый ее конечномерный аналог, показав, как трансверсальность гарантирует возможность перевести одна в другую вещи, очень похожие на деформации. Для этого мы могли бы взять группу матриц такого вида, как в соотношении (8.1) (см. § 2), или же рассмотреть общий случай действия группы на а на самом деле даже вообще действие любой группы Ли на многообразии; однако метод будет вполне понятен и на простом примере группы матриц

действующей на Читатели, знакомые с группами Ли, могут в качестве легкого, но полезного упражнения перенести наши рассмотрения на указанную более общую ситуацию.

Рис. 8.10

Рис. 8.11

Поскольку

любые две точки с ненулевой -координатой могут быть переведены одна в другую; ненулевые точки оси у и начало дают два других „типа“ точек относительно наших преобразований. Рассмотрим кривую

для которой , т. е. точка, отвечающая нулевому значению параметра, лежит на оси у (рис. 8.10). Мы хотим преобразовать в „стандартную" кривую, проходящую через ось у (рис. 8.11):

с помощью гладкой обратимой замены координат на прямой и зависящей от матрицы

(В нашей аналогии с деформациями отвечает зависящей от замене переменной х (эту замену в предыдущем параграфе мы обозначили через и добавлению зависящего от сдвигающего члена.) Чтобы доказать, что это может быть сделано (не единственным образом), введем функцию

Ее матрица Якоби равна

в точке она сводится к матрице

Рис. 8.12

(правая часть — сокращенная запись левой). Далее, линейное уравнение

определяет некоторую прямую (а не плоскость), если У или отлично от нуля, так что ранг этой матрицы равен 2. Прямую (рис. 8.12) можно рассматривать как график линейной функции

в том и только том случае, если одновременно и Р, и У отличны от нуля. Если это так, то по теореме о неявной функции гл. 3) вблизи точки , где обращается в нуль:

существует единственная гладкая функция

определенная вблизи нуля, график которой (кривая С на рисунке 8.12) касателен к прямой и которая удовлетворяет условию

для всех вблизи нуля, т. е.

Если мы положим

то как раз получим как и требовалось.

Теперь заметим, что условия сводятся к условиям которые в точности представляют собой требование, чтобы трансверсально проходило через

орбиту точки то орбитой служит начало, а никакая кривая в не может проходить через точку трансверсально; условие же означает в точности то, что проходит через орбиту — неважно, в какую сторону — с ненулевой скоростью.)

Это рассуждение носит совершенно общий характер: если произвольная группа Ли гладко действует на (на самом деле даже на любом многообразии М) и если для мы имеем то, используя теорему о неявной функции, можно показать, что универсально в некотором смысле, являющемся обобщением предыдущего, в том и только том случае, когда оно трансверсально к орбите. Общее доказательство требует лишь немногим большего, чем простое переписывание предыдущего рассуждения в более стильных обозначениях.

Доказательство теоремы 8.6, однако, не так близко к этому своему аналогу, как доказательства теорем к тем конечномерным рассуждениям, которые предшествовали им. Во всяком случае, пока нет. В некоторых отношениях в подготовительной теореме Мальгранжа есть что-то от теоремы о неявной функции, и значительные усилия были потрачены для того, чтобы сформулировать и доказать бесконечномерную теорему о неявной функции, использование которой сделало бы доказательство теоремы 8.6 в точности подобным приведенному выше. Такая формулировка послужила бы мощным средством для развития теории, и она имела бы серьезные педагогические преимущества.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление