Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7 Коразмерность и деформации

Теперь можно дать строгое определение понятия коразмерности функции в начале:

иными словами, это — число „отсутствующих" полиномиальных направлений. Число может лишь возрастать с ростом ; если оно нигде не останавливается в своем росте, то мы пишем

Если что заведомо так, согласно теореме 8.2, в случае, когда является -определенной, — то никакие направления порядка не могут лежать вне Обращаясь снова к лемме Накаямы, мы видим, что вне не может оказаться ни один многочлен порядка Значит, все „отсутствующие" направления представлены многочленами порядка Коразмерность в О в точности совпадает в нашем случае с коразмерностью или же

Если не является -определенной ни для какого то среди отсутствующих будут полиномы всех порядков и коразмерность будет бесконечной. Таким образом, условия конечной коразмерности и конечной определенности эквивалентны.

Одна из причин, по которой введенное выше понятие коразмерности оказывается важным, состоит в том, что оно точна соответствует понятию геометрической коразмерности, использовавшемуся в предыдущих главах в рассуждениях, связанных с трансверсальностью. Ту коразмерность можно поэтому подсчитать с помощью этого определения, а не прибегая к геометрическим картинкам, таким, как конус или браслет омбилик. Такие подсчеты более быстры и более систематичны, и потому в строгих первоисточниках они служат стандартным методом. Теорема Тома о трансверсальности гарантирует нам, что в -параметрическое семейство в типичном случае входят лишь функции, коразмерность которых в каждой точке при условии что нет непрерывных семейств типов (вроде квартик, классифицированных в § 6 гл. 7 при помощи двойного отношения), которое вместе как целое имеют коразмерность Легко подсчитать, что любая функция порядка 4 имеет коразмерность по меньшей мере 8; но в типичном случае если семимерное семейство содержит такую функцию, то и всякое близкое семейство тоже будет содержать такую же — хотя и не обязательно эквивалентную первой. (Мы уже имели в § 6 гл. 7 случай сказать об этом, но недопонимание здесь столь распространено, что нелишне повторить это еще раз.) Множество особенностей, для которых первые три производные обращаются в нуль в двух направлениях, имеет коразмерность 7, множество особенностей, для которых первые две производные обращаются в нуль в трех направлениях, имеет коразмерность 6, но коразмерности отдельных элементов в этих множествах не меньше 8 и 7 соответственно. (Мы не излагаем общих методов для подсчета коразмерностей подобных множеств, ввиду того что не решена общая задача подразделения пространства струй

на такие подмножества, хотя Том и доказал, что такое подразделение, или „стратификация", существует.)

Что касается множества функций, которые не являются конечно-определенными, то оно имеет коразмерность как множество, и такова же коразмерность его элементов. Таким образом, для любого конечного типичное -параметрическое семейство содержит лишь функции, всюду -определенные при некотором конечном Поскольку -определенная особенность изолированна (многочлен обращается в нуль лишь в начале и потому принадлежит а значит, представим с помощью производных следовательно, эти производные не могут обратиться в нуль одновременно нигде, кроме начала), неизолированные особенности разделяют с неопределенными их крайнюю атипичность. Тем самым оправдано сделанное в § 1 гл. 4 замечание, что такие особенности встречаются редко.

В этом состоит одна из ролей, которые играет коразмерность, и притом важная роль (хотя и с обычными оговорками, касающимися соображений, связанных с типичностью, см. § 3 гл. 6) Речь идет, так сказать, об анализе, направленном внутрь, к типу функции, который можно встретить устойчиво в семействе данной размерности (Например, если в каждой точке эмбриона в каждый момент его развития мы имеем одну функцию, то перед нами четырехпараметрическое семейство. Типичным и устойчивым образом оно будет содержать лишь первоначальные „семь элементарных катастроф" коразмерности Большинство опубликованных Зиманом приложений теории катастроф относится именно к этому направлению.

Но в физике, химии, инженерном деле и т. д. теория часто приводит нас к отдельным функциям, по крайней мере с точностью до порядка Если эта функция порождается специальной ситуацией или анализом некоторой „идеальной" системы, то она может быть, а может и не быть устойчивой, или типичной, но мы тем не менее должны быть в состоянии изучать ее. Это приводит к анализу, направленному вовне от данной функции, например к изучению ее возмущений.

Мы видели, что малые возмущения морсовской критической точки дают лишь одну критическую точку, близкую к исходной. Особенность может распасться на две (максимум и минимум) или вообще исчезнуть, особенность может распасться на три и т. д. Эти факты служат иллюстрациями следующего красивого результата:

ТЕОРЕМА 8.5. Пусть коразмерность функции в начале равна с. Тогда любое достаточно малое возмущение этой функции приводит к функции, имеющей вблизи начала не более критических точек.

Мы не будем пытаться здесь доказать эту теорему или хотя бы привести соображения в пользу ее правдоподобия (хотя читатель, знакомый с основной теоремой алгебры, без сомнения, легко построит доказательство для одномерного случая); доказательство теоремы можно найти у Паламодова

138), где также вместо наших „малое" и „вблизи начала приведены соответствующие точные условия.

Эта теорема иллюстрирует тот факт, что коразмерность служит мерой сложности критической точки. Симметрии, являющиеся плодом наших намерений или допущений, вообще говоря, увеличивают коразмерность. Пусть, например, симметрична относительно поворотов на 90°, как это часто бывает для „идеальных" систем. Если неморсовская в начале, то она имеет порядок 4 по поскольку квадратичная часть исчезает в неморсовском случае по симметрии, и кубическая тоже. Но в таком случае коразмерность по меньшей мере 8. Упрощение, даваемое тем, что мы анализируем „идеальную" систему, получается ценой много большего усложнения поведения системы, связанного с небольшими неизбежными „несовершенствами", из-за которых функция немного изменяется. Этот факт становится особенно бросающимся в глаза, когда непрерывная симметрия ведет к бесконечной коразмерности, как, например, в случае плавучей платформы, рассмотренном в § 10 гл. 10.

Теорема 8.5 утверждает, что в вырожденной особенности как бы прячется точек, только и ждущих малого возмущения, чтобы разбежаться и превратиться в отдельные критические точки 1. Для более систематического исследования вопроса мы можем воспользоваться гладким семейством возмущенных функций, подобно тому как мы рассматривали ранее семейство для или семейство для Такое семейство называется деформацией это понятие, как и столь многое другое, идет от Тома. Мы видели, что деформация охватывает все эффекты, производимые любыми возможными деформациями, а значит, и подавно любыми малыми возмущениями 2.

Аналогичным образом катастрофа сборки доставляет все типы, которые можно встретить вблизи особенности, эквивалентной и дает нам геометрию их последовательного появления при непрерывном возмущении функции. Подобное семейство можно построить для любой функции, которая является конечно-определенной в начале.

Переходя к более строгому изложению, приведем несколько определений. Назовем -деформацией функции всякую функцию

удовлетворяющую условию

Как и раньше, мы часто будем вместо писать и представлять себе как семейство функций параметризованное с помощью Назовем внутренними переменными, — переменными деформации, — размерностью деформации, — пространством деформации.

Будем говорить, что -деформация функции индуцирована из деформации с помощью трех отображений:

(a) гладкого отображения

(b) зависящей от параметра локальной замены координат в т. е. такого гладкого отображения

для которого при всех гладкое отображение

является локальным диффеоморфизмом вблизи начала;

(c) гладкой сдвигающей функции

— если вблизи начала в выполнено условие

Таким образом, каждое малое возмущение с точностью до константы получается гладкой перепараметризацией некоторого возмущения из а именно В случае когда — диффеоморфизм, это определение сводится к

определению эквивалентности семейств функций, которым мы уже пользовались (в § 1 гл. 6). Но оно охватывает и более общие ситуации; скажем, выше мы видели, что деформация индуцируется из с помощью отображений

Далее, -деформация функции называется версальной, если любая другая деформация этой функции может быть индуцирована из нее. Она называется универсальной, если — наименьшая размерность, для которой существуют версальные деформации Две универсальные деформации таким образом, автоматически являются эквивалентными.

Для всякой -деформации функции положим

и обозначим через подпространство в натянутое на (Напомним, что обозначает -струю без постоянного члена.)

ТЕОРЕМА 8.6. Если функция является -определенной, то ее -деформация будет версальной тогда и только тогда, когда представляют собой трансверсальные подпространства в Она будет универсальной тогда и только тогда, когда она версальна и

Снова мы отсылаем за доказательством к строгим источникам. Однако в следующем параграфе мы проиллюстрируем для конечномерного случая тесную связь между трансверсальностью и универсальностью.

В виде следствия мы получаем, что любые две -деформации и функции для которых как так и трансверсальны к оказываются эквивалентными как семейства функций. Далее, если является -деформацией, -деформацией, и обе они версальны, то эквивалентна деформации

Это позволяет нам откидывать немые внешние переменные как мы это уже делали в § 4 гл. 7. На самом деле всегда возможно, откидывая максимально возможное число немых переменных, дойти до универсальной деформации.

Универсальную деформацию для -определенной функции коразмерности с легко можно построить алгебраически: надо просто выбрать какой-нибудь кобазис (см. §2 гл. для в и положить

Рассмотрим, например, функцию

которую (согласно § 5 гл. 7) можно устойчивым образом встретить в трехпараметрическом семействе. Имеем

Следовательно,

состоит из всевозможных линейных комбинаций следующих многочленов:

Нетрудно увидеть, что в число этих комбинаций входят все однородные многочлены из значит, по теореме 8.1 функция сильно -определенна. Поэтому дальше мы можем работать в системе координат, в которой принимает в точности вид и не беспокоиться о членах более высокого порядка. В этой системе координат

состоит из всевозможных линейных комбинаций

многочленов

Таким образом, состоит из всех кубических многочленов и имеет еще две квадратичные размерности из трех. Хотя в принципе годится любой кобазис, удобно выбрать следующий:

Мы получаем тогда и все линейные члены (как комбинации и все квадратичные, поскольку

(Отметим, что не подошло бы в качестве В итоге универсальной деформацией будет

мы уже встречались с ней в § 5 гл. 7.

После рассмотрения конкретных примеров вроде приведенного выше факт эквивалентности всех версальных деформаций начинает казаться несколько удивительным. Возьмем, допустим, другую кубику от х и у, имеющую одну вещественную и две комплексные корневые прямые и потому, согласно § 6 гл. 2, эквивалентную кубике относительно линейной замены. Значит, и она также -определенна, и мы можем работать с этой полиномиальной формой. На этот раз состоит из линейных комбинаций многочленов

и очевидным кобазисом будет

В действительности Том [1] выбрал именно эту стандартную форму и именно эту ее деформацию для задания катастрофы гиперболической омбилики

Здесь квадратичный член деформации является неопределенной (т. е. „седловой") формой, а раньше мы имели положительно-определенный квадратичный член. Когда дело идет о том, чтобы приписать параметрам деформации физический смысл (например, в приложениях к технике член часто отражает изменение нагрузки), расхождения такого рода могут показаться довольно странными. Однако, полагая

где

далее,

где

и, наконец,

мы после выполнения соответствующих умножений придем к равенству

Легко проверить, что у задает зависящий от параметров диффеоморфизм (глобально, а не только вблизи начала), а и у определяют диффеоморфизм всего

пространства на себя, переводя тем самым одну полиномиальную модель гиперболической омбилики в другую.

Это преобразование линейно, и потому его нетрудно найти, коль скоро вы знаете, что оно существует. Без нашей теоремы, мы могли бы и подозревать об эквивалентности этих моделей, во всяком случае до тех пор, пока не изучили бы достаточно глубоко каждую из них. (Инженерам, с которыми мы беседовали по этому поводу, эти модели казались совершенно различными.) Если известно, что благодаря универсальности преобразование существует, его всегда можно найти чуть потрудившись, и изучение одной формы может быть прямо сведено к изучению другой. В особенности в малых размерностях, где имеется лишь небольшое число возможных типов, это позволяет легко переводить известные из теории факты о геометрии стандартных форм на язык тех конкретных примеров, в которых они встречаются. (В § 10 мы обсудим некоторые методы опознавания катастроф, позволяющие идентифицировать типы с помощью простых вычислений.) Так, например, в гл. 15 то обстоятельство, что две задачи, относящиеся к лазерам, с совершенно разными граничными условиями, приводятся к одной и той же стандартной форме (факт весьма удивительный, если исходить из физики, но вполне понятный в свете гл. 7), позволяет „перенести" много количественной информации с каждой из них на другую.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление