Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6 Касание и трансверсальность

Вместо того чтобы „честно" рисовать для различных орбиты, которых касательные векторы из действительно касаются (такое предприятие, хотя это, возможно, и покажется удивительным, потребовало бы много больше

работы и привлечения новых понятий), мы проиллюстрируем это касание, вернувшись к семействам функций, изучавшимся нами в гл. 6 и 7.

Рассмотрим функцию для которой

Тогда

Так как эта функция отлична от нуля в некоторой окрестности начала, то в этой окрестности функция

гладкая и мы можем взять ее тейлоровское разложение до порядка и получить многочлен, который запишем в виде

такой, что

Поскольку отсюда вытекает, что то и каждый многочлен Р степени лежит в так как его можно представить в требуемом виде

с многочленом степени можно просто положить

Иначе это можно выразить, сказав, что любое направление, в котором мы можем возмутить мы также можем получить (или обратить) с помощью замены переменных. Действительно (см. рис. 8.6), если результат малого возмущения то нам достаточно лишь сдвинуть начало в новую, локально единственную точку и произвести гладкую перепараметризацию области определения, чтобы снова получить того же вида и с тем же значением в 0. Некритические точки очень устойчивы в том смысле, что малые возмущения устраняются простой перепараметризацией области определения.

Далее, возьмем функцию

Рис. 8.6

То же рассуждение показывает, что для всех в точности совпадает — пространством многочленов от х с нулевым постоянным членом. Соответственно, любое малое возмущение можно локально исправить заменой переменных (возможно, со сдвигом начала), за тем, однако, исключением, что значение в начале может измениться (рис. 8.7). Отсутствие постоянных членов в означает, что изменение значения в критической точке не принадлежит к тем направлениям, в которых мы можем сдвигаться посредством одного только изменения х-координат. В § 5 гл. 4, чтобы добиться устойчивости, нам пришлось допустить также и возможность изменения этой „константы".

Теперь рассмотрим функцию (или, более общо, любую функцию приводимую к этому виду; вычисления касания до и после замены координат дают, как это и должно быть, согласойанные ответы). Очевидно, содержит значит, всё Касание в направлении в точке можно яснее всего представить, если вложить „касающееся семейство" (рис. 8.8) в большее семейство

Нарисовав картину катастрофы для этого семейства (рис. 8.9), мы видим, что ось касается той кривой в плоскости над которой лежат складки. Действительно, если положить

мы получим

Следовательно, приводится с помощью замены координат и зависящей от замены координаты х к стандартной катастрофе складки из § 2 гл. 7. Действие сводится к сдвигающему члену который не влияет на то, какие значения у являются критическими для равно как и на тип критической точки.

Если бы мы вложили в еще большее семейство

то мы могли бы положить

Рис. 8.7

Рис. 8.8

и получить

точно, не прибегая к Это отражает тот факт, что х и 1 представляют собой два направления в пространстве многочленов, которые отсутствуют в при любом Однако запретить „переменные константы" вроде означало бы отказаться от возможности приведения вполне типически появляющихся однопараметрических семейств типа семейства

к стандартной локальной форме. (Здесь это достигается заменой заметим, что глобально это приводит к двум чисто кубическим точкам в соответствии с тем, что прямая на рис. 8.9 дважды пересекла бы кривую складок.) Поэтому для того чтобы сделать всё, типично появляющееся в однопараметрическом семействе, локально эквивалентным одной из трех стандартных форм (линейная, морсовская и катастрофа складки), мы должны в используемых эквивалентностях допустить сдвигающие члены. Как мы увидим, в большинстве приложений это является разумным. Правда, в гл. 11 при рассмотрении течений жидкости мы встретимся с физической интерпретацией, в которой действие такого сдвигающего члена абсолютно несущественно, и мы можем использовать его для упрощения результата. Если вдруг окажется необходимым вернуться к «истинному» постоянному члену, мы всегда можем это сделать.

Эти доказательства и алгебра сохраняют полную силу вне зависимости от того, вводим мы такой член или нет, — на самом деле они даже станут несколько проще, если мы это делаем, так как тогда можно убрать сдвигающий член из отношения эквивалентности. Вводя его, мы повышаем все коразмерности на единицу, за исключением некритических точек, поскольку это означает, что мы действуем в рамках пространства , а не Мартинэ [31] понимает коразмерность именно в таком смысле — добавляя единицу к числовому значению и функцию 1 к элементам кобазиса. То же делается и в программе из дополнения 1.

Чтобы устранение таких постоянных членов трактовать систематическим образом, введем обозначение

для -струи с откинутым постоянным членом.

Рис. 8.9

Возьмем теперь любое семейство функций, окружающих функцию

такое что некоторая прямая для фиксированного дает „вектор направления"

в пространстве струй который не принадлежит подпространству векторов, касательных к орбите (Это значит, что он представляет собой то самое „одно отсутствующее направление", но он не обязательно есть х, просто он должен иметь ненулевой линейный член.) Великая теорема в этой области (теорема 8.6 ниже) гарантирует нам следующее. Гладкой заменой на и зависящей от гладкой заменой х на у семейство можно привести к виду

с точностью до сдвигающего члена. Эта замена переводит направления, касательные к множеству точек складки, в координатные направления и выпрямляет всё это множество так, чтобы оно лежало в точности вдоль этих направлений. Если не удовлетворяет предыдущему условию, как, например, мы можем вложить его в большее семейство, как раньше, выпрямить и спроектировать: если то дает как раз нужное семейство с точностью до сдвигающего члена. Итак, мы

свели описание к описанию специальной кривой с параметром в стандартном семействе

Даже в этом простейшем нетривиальном случае функций одной переменной, по-видимому, нет простого доказательства великой теоремы, подобного тому, которое было дано в § 3 гл. 4 для критерия определенности. Любая попытка „голыми руками" доказать сделанное утверждение, даже с одной только переменной приводит к подготовительной теореме Мальгранжа (строгие источники) или, что эквивалентно, к теореме деления. На самом деле изучение таких частных случаев — прекрасный путь к уяснению этих тонких теорем. Обсуждение этого вопроса можно найти в книге Мартинэ [31]; оно лежит за пределами принятых нами рамок. Нужно указать, что необходимость подготовительной теоремы в настоящем контексте впервые была понята Томом. Мальгранж вначале даже не поверил, что она может быть справедливой, и лишь настойчивость Тома убедила его в этом и склонила к тому, чтобы заняться ее доказательством. (Здесь лежит объяснение того, почему § 7 предыдущей главы озаглавлен „Теорема Тома". Том не публиковал первого ее доказательства — он не опубликовал никакого ее доказательства, — но он почувствовал сам результат и оркестровал его доказательство.) Нечасто случается, чтобы центральный результат теории, высказанный впервые, был встречен с недоверием главным экспертом в этой области! Теория катастроф, как мы не устаем повторять на протяжении всей книги, является расширением математического анализа или разработкой в его рамках, но не отходом, подобным ньютоновскому (как это иногда утверждается), от предшествующего описания мира. Однако разработка эта ни в какой мере не является тривиальной или стандартной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление