Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5 Преобразования, сдвигающие начало

Никакая функция не может, очевидно, быть О-определенной. Раз мы всегда имеем дело с -определенностью для то ни при какой добавке у к порядка, большего чем нам не потребуется сдвигать начало, чтобы вернуться к Если функция является -определенной, т. е. начало — некритическая точка, то оно останется некритической точкой, в которой принимает значение Если она будет -определенна лишь для она имеет в начале критическую точку, которая необходимо изолирована (§ 7) и не смещается, когда мы добавляем члены высшего порядка. Таким образом, группа с которой мы работали в предыдущем параграфе, строится из наиболее общих преобразований, имеющих отношение к определенности. Другое дело устойчивость. Когда мы возмущаем функцию (или семейство функций), мы добавляем члены всех порядков и может возникнуть необходимость сдвинуть начало, чтобы вернуть на место функцию или семейство, с которых мы начали.

Возвращаясь к функциям рассмотрим новое семейство замен переменной

На этот раз для касательного вектора в точке мы получим следующее выражение:

где — произвольный многочлен, возможно с ненулевым постоянным членом В случае переменных мы, конечно, придем к вектору где многочлены могут иметь ненулевые постоянные члены.

Это наиболее общий вид касательного вектора, который имеется для и мы, допуская небольшую вольность речи, назовем пространство таких векторов касательным пространством к опустив упоминание об орбите и группе. На математическом языке, оно порождено струями

и поскольку они получаются дифференцированием, это пространство обозначают через Равным образом оно может быть описано как пространство (-струй элементов множества которое состоит из всех локально определенных функций вида

где произвольные гладкие функции. (Это множество называется якобиевым идеалом для Но мы будем иметь дело лишь с конечномерным пространством

Теперь у нас есть возможность более сжато выразить наши алгебраические критерии. Определим произведение двух подпространств А, В любого из пространств или как множество

Другими словами, это — пространство всех линейных комбинаций усеченных произведений многочленов, по одному

из каждого подпространства. Тогда касательное пространство к орбите под действием есть а касательным пространством к орбите под действием будет Поэтому алгебраические критерии теорем 8.1- 8.4 принимают вид

соответственно, и далее мы будем использовать их в этом виде.

Отметим, что поскольку определено через -струи частных производных то, сравнивая степени соответствующих элементов, мы видим что

в то же время не обязательно верно, что

Исходя из неявного допущения о справедливости этого неверного равенства, мы в своей книге 125], стр. 98, ошибочно предложили использовать для проверки трансверсальности. На эту ошибку, которая может иногда повести к неправильным результатам, нам указал Роберт Мэгнус.

Ввиду того что при умножении многочленов и усечении действие некоторых членов аннулируется,

так что правая часть условия (8.1) зависит только от как и отмечалось выше; в то же время для мы имеем лишь

и в теоремах 8.2 и 8.3 существенны, как мы и видели, члены в порядка

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление