Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4 Более слабые условия конечной определенности

Очевидно, что сильная -определенность влечет за собой (простую) -определенность, так как в случае последней просто ослаблено условие на производную преобразования координат. Значит, из алгебраического условия теоремы 1 вытекает -определенность. Но из -определенности это условие не следует. Что же из нее следует?

Рассмотрим примеры. Если допускаются более общие координатные замены (но по-прежнему оставляющие начало неподвижным), то мы должны пользоваться матрицей (8.2) из § 2, не полагая уже в ней Возможных направлений смещений становится больше. Для точки на оси

так что мы можем смещать ее вверх и вниз. Для точки из плоскости

значит, при точку можно перемещать в любом направлении в этой плоскости, выбирая подходящие Аналогичным образом точку можно перемещать вообще в любом направлении в пространстве (рис. 8.5). Базисы касательных пространств теперь соответственно такие:

Рис. 8.5

Интегрирование этих возможных смещений приводит к тому же разбиению пространства что и в предыдущей главе, за тем исключением, что теперь различаются полуплоскости плоскости Это отражает тот факт, что мы не можем непрерывно изменяющейся во времени заменой переменных перевести это различение несущественно для наших теперешних целей, как и для целей предшествующей главы. (Отметьте, что мы можем (вращением) перевести

Используя те же рассуждения, что и в § 2, но теперь с изменяющейся во времени заменой переменных специального вида

где требуется лишь, чтобы можно показать, что касательное пространство к орбите под действием состоит из векторов

где на этот раз лежат в т. е. не имеют постоянного члена.

Следовательно, на этот раз элементы касательного пространства зависят от членов порядка Например, в можно смещать вверх и вниз (рис. 8.5), лишь если (И действительно, струю невозможно перевести в 0 никакой гладкой заменой.)

Пусть Вряд ли можно ожидать, что из того только факта, что содержится в касательном пространстве к орбите под действием (а на самом деле совпадает с ним, поскольку оба эти пространства равны просто-напросто будет следовать, что струя является -определенной. Однако из -определенности следует, что содержится в соответствующей орбите, и, значит, в частности, что касательное пространство в точке содержится в касательном пространстве к орбите. Иначе говоря, справедлива

ТЕОРЕМА 8.2. Если функция является -определенной, каждый однородный многочлен степени может быть представлен в виде

где многочлены от порядка

Эта теорема доказывается в большинстве строгих источников. Из нее тривиально вытекает, что если является -определенной, то каждый однородный многочлен степени может быть представлен таким же образом, только с порядка 2. Значит, по теореме 8.1, сильно (-определенна, хотя она может и не быть сильно -определенной.

В частности, для -определенной выполняется алгебраическое условие теоремы 8.1 при Следовательно, если наименьшее при котором удовлетворяет этому критерию, равно, скажем, то будет -определенной (даже сильно) и может быть (-определенной (если для нее не нарушаются условия теоремы 8.2), но она не может быть (-определенной для

Мы видели, что теорему 8.2 нельзя усилить до и только так как любая функция служит контрпримером. Однако можно показать, что если содержится в касательном пространстве к орбите то это же верно если и не для всех точек то по крайней мере для всех точек, достаточно близких к Значит, некоторый кусок пространства лежит в орбите и произвольные достаточно малые изменения порядка можно устранить подходящей заменой координат. (Это, конечно, не означает, что можно привести к так как члены порядка могут не быть достаточно малыми.)

Это подводит нас к следующему определению: назовем функцию локально -определенной, если найдется такое что каждую функцию где — функция порядка удовлетворяющая условию

можно локально перевести в гладкой заменой координат. Справедлива

ТЕОРЕМА 8.3. Гладкая функция является локально -определенной, если и только если каждый однородный многочлен степени может быть представлен в виде

для некоторых многочленов порядка 1.

Доказательство этого результата можно найти у Мартинэ [31]. Склеивая малые куски которые, согласно этой теореме, лежат каждый в некоторой своей орбите, можно показать, что всё целиком содержится (при некоторых дополнительных предположениях) в одной и той же орбите, и прийти тем самым к недавно опубликованной теореме Стефана [37]:

ТЕОРЕМА 8.4. Гладкая функция является -определенной, если и только если для каждого однородного многочлена Р степени все однородные многочлены степени представимы в виде

где - многочлены порядка 1.

Этот результат служит удобным средством для выяснения того, будет ли функция -определенной, когда она удовлетворяет критерию теоремы 8.2 (если она ему не удовлетворяет, то, по теореме 8.2, не будет), но не удовлетворяет критерию теоремы 8.1, которая гарантировала бы -определенность лишь через сильную -определенность. Конечно, будет тогда сильно -определенной, что в некоторых приложениях может оказаться более полезным. Примеры такого рода использования этой теоремы мы дадим в § 13.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление