Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Инфинитезимальные замены переменных

Рассмотрим произвольную зависящую от времени замену переменных, которая является тождественным преобразованием при и линейная часть которой при всех представляет собой тождественное преобразование; пусть она

имеет вид

где

(Выше бралось в частично разложенной форме Функция

которую мы надеемся привести к более простому, чем локальному виду, изменяется с Как начинает смещаться ее -струя? Мы найдем это, продифференцировав по В результате получим вектор

в пространстве -струй, который будем считать выходящим из точки Из свойств линейности разложения Тейлора (§ 5 гл. 3) вытекает, что

Если положить то

Компонентами вектора являются различные производные по х. Так как гладко (по построению), порядок дифференцирования можно изменить:

Рассмотрим тейлоровское разложение функции по в точке х. По определению -струи,

где — гладкая функция. (Как обычно, это не зависит от того, сходится ряд Тейлора или нет.) Поэтому последний предел в скобках равен

или, в традиционных обозначениях,

Таким образом, является -струей функции

[Техническое замечание. Всюду выше мы дифференцировали пути в пространстве струй которое является конечномерным вещественным векторным пространством, так что применимо элементарное дифференциальное исчисление.В бесконечномерном пространстве всех „ростков" (грубо говоря, функций, определенных вблизи начала), которое используется в строгой теории, нет очевидного определения предела. Вопреки тому что сказано по крайней мере в одном опубликованном подробном доказательстве, тот факт, что представляет собой вещественное векторное пространство (бесконечной размерности), еще не придает автоматически смысла этому дифференцированию.

Заметим также, что хотя нами установлено, что все векторы вида являются касательными к орбите, мы еще не показали, что все касательные векторы имеют такой вид. Это действительно так, но доказательство того, что для случая переменных каждое направление смещения в орбите может быть реализовано смещением из единичного элемента (тождественного преобразования) в группе Ли требует, чтобы орбита была „вложенным" многообразием (см. Мезер 114]), либо же требует тонких рассуждений об общих, возможно, лишь „погруженных" орбитах групп Ли (см. Мэгнус [30а]). Это место обходится стороной в некоторых строгих источниках.

Повторяем: касательное пространство состоит в точности из векторов указанного вида, и в дальнейшем мы будем использовать этот факт — как и его аналог для более широкой группы не делая специальных оговорок.]

Итак, мы можем найти все касательные векторы в точке к орбите этой точки под действием рассмотрев все струи вида

(Напомним, что условия, наложенные на гарантируют, что при соответствующей замене переменной начало

остается неподвижным, а производная в начале равна 1.) Согласно § 5 гл. 3, эти струи могут быть выражены в виде

Поскольку струи образуют векторное пространство которое можно представлять себе как пространство всех многочленов со степенями одночленов, заключенными между 2 и мы можем найти базис интересующего нас касательного пространства, выбрав какой-нибудь базис и выписав струи

Из них можно отбросить те, которые после усечения оказываются линейными комбинациями других; во всяком случае, мы нашли систему образующих, и из нее уже несложно отобрать настоящий базис. Этот базис можно привести к более естественному виду, взяв соответствующие линейные комбинации его элементов. Очевидный базис для составляют

Беря, для примера, как и выше, предположим, что

Тогда

где а зависит от пятой производной которую нельзя определить по 4-струе. Выбирая в качестве базиса для мы приходим к следующей системе образующих для касательного пространства к орбите струи под действием

отметим, что они не зависят от и а. Для получаем так что касательное пространство представляет собой плоскость, параллельную плоскости Подобным же образом устанавливается, что вертикальные прямые (натянутые на служат касательными пространствами в точках для а нулевое подпространство — в точках .

В § 2 мы нашли эти касательные пространства более простым рассуждением, а в предыдущем абзаце более простым вычислением — теперь рассуждение проведено раз и навсегда. Нужно только распространить его на случай многих переменных. Зависящая от времени замена переменных у, для которой производная в начале есть тождественное отображение, записывается так:

как обычно, мы пишем для краткости х вместо Та же, что и раньше, последовательность шагов приводит к следующему выражению для общего касательного вектора к орбите

Здесь — произвольный многочлен из Поскольку (как это было выше с членами любой член порядка или исчезает после умножения на элементы порядка 2 и усечения до порядка касательное пространство к орбите зависит только от многочленов которые вполне определены струей

На рис. 8.4 подпространство представлено, довольно схематично, прямой линией, а подпространство — плоскостью. Множество

является аффинным (не векторным) подпространством в параллельным Если в любой точке все направления, касательные к К, являются также касательными к орбите под действием

то достаточно очевидно, что К на самом деле лежит в орбите (Это совсем нетрудно доказать, если считать известным, что орбита есть многообразие; а это в свою очередь — элементарный факт о действиях групп Ли.) Пусть это так. Тогда орбита содержит точку рассматриваемую (очевидным образом) как -струя (рис. 8.4). Иначе

Рис. 8.4.

говоря, некоторая локальная замена с тождественной линейной частью устраняет из члены порядка сводя эту струю к

Как мы уже видели, принадлежность вектора к касательному пространству к орбите зависит только от Значит, если условие (8.3) выполняется в точке то оно выполняется в любой точке К. Следовательно, для того чтобы показать, что существует замена координат, которая производит требуемое приведение, достаточно показать, что каждое направление в лежит в этом касательном пространстве. Алгебраически это означает, что

Очевидно, это условие не только достаточно, но и необходимо для того, чтобы можно было откинуть члены степени действительно, последнее прямо влечет за собой, что К содержится в орбите, а отсюда вытекает, что касательное пространство к К в каждой точке содержится в касательном пространстве к орбите.

Замечательный факт заключается в том, что если условие (8.4) справедливо, то каждая гладкая функция порядка (многочлены из являются лишь простейшими примерами таких функций) может быть представлена в некоторой окрестности нуля в виде

где гладкие функции порядков Это утверждение о функциях на самом деле легко получается из соответствующего утверждения о струях (8.4) с помощью одного алгебраического приема, называемого леммой Накаямы; прием этот в свою очередь доказывается несложно, но на языке модулей над кольцами (обобщение понятия векторного пространства над полем), и нам приходится отослать читателя к строгим источникам. (Кстати, в большинстве изложений для топологов дается излишне запутанное доказательство леммы Накаямы с использованием определителей. У Вассермана 136] можно найти более легкое доказательство, предпочитаемое алгебраистами.)

Отсюда следует, что если мы обратимся, скажем, к пространству то любой многочлен, все одночлены которого имеют степени лежит в касательном пространстве

к орбите под действием на Распространяя на эту ситуацию предыдущие рассуждения, можно показать, что подходящая замена переменных приводит к виду

На этом пути мы можем отбросить любое конечное число членов высших порядков. Этим не доказано, что можно устранить весь тейл, но по крайней мере это теперь не представляется удивительным. Справедлива

ТЕОРЕМА 8.1. Функция является сильно -определенной, если и только если каждый однородный многочлен степени может быть записан в виде

где многочлены от порядка 2.

Это прямой алгоритмический критерий, и в § 13 и во многих главах о приложениях мы дадим примеры его применения. Полное доказательство части „если“ теоремы имеется в любом из строгих источников, доказательство части „только если“ см. у Сирсмы [33].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление