Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2 Пространства струй от одной переменной

Проведенный в § 3 гл. 4 анализ показал, что многочлен может быть приведен в окрестности начала с помощью замены переменных к виду

Это приведение полно, хотя и локально: функция в точности выражается в виде Однако замена переменных, к которой приходится прибегать, обычно не полиномиальна: по ходу доказательства теоремы приходится извлекать корень степени и легко можно проверить, что никакой полиномиальной заменой нельзя привести, скажем, даже локально.

Рассмотрим, однако, более простую задачу упрощения лишь 4-струи. Как привести

к виду

Произвольную замену координат, оставляющую начало неподвижным, можно записать с помощью разложения Тейлора как

По теореме об обратной функции это преобразование является локальным диффеоморфизмом в точности тогда, когда (Насколько локальное „локально", зависит от Несложное вычисление дает

Иными словами, получается функция, 4-струя которой есть

где

Значит, замена переменных индуцирует линейное преобразование А с выписанной выше матрицей, которое отображает II в себя. Определитель равен , и, как мы и ожидали, матрица обратима в точности тогда, когда обратима замена переменных в окрестности начала. (Аналогичный результат для пространства струй от переменных вытекает из цепного правила для высших производных.)

Всю нужную нам информацию мы могли бы получить из этой матрицы преобразования А, но ее зависимость от и у довольно сложна. Картина становится более прозрачной, если рассмотреть малые замены. А именно, в нашем случае мы берем настолько малыми, чтобы можно было пренебречь их степенями и произведениями. Это приводит матрицу к виду

Точный смысл того, что мы сделали, состоит во взятии первой производной отображения А (т. е. его линейной аппроксимации в (0, 0, 0)), рассматриваемого как функция от Таким образом, матрица (8.2) говорит нам, в каком направлении мы сдвигаем точку начиная производить зависящую от времени замену

(в начальный момент замена тождественная). Этим прекрасно схвачена геометрическая суть проблемы.

Ограничимся теперь задачей, которая могла бы показаться более сложной, — рассмотрением сильной -определенности. В нашем одномерном случае дополнительное условие, что координатная замена имеет тождественную производную в начале, выглядит так: Тогда (8.2) принимает вид

Какие направления смещения в порождает эта матрица? Для точек на оси — вовсе никаких, так как

т. е. точки этой оси отображаются тождественно. Для точек плоскости

Значит, для точки, не лежащей на оси подходящая замена в Х-области начнет сдвигать точку вверх или вниз параллельно оси

Для точки вне плоскости

Это не меняет но для подходящих мы получим любой сдвиг параллельный плоскости именно,

Рис. 8.2

достаточно взять

Направления движения, возможные для точек представляющих многочлены, указаны на рис. 8.2. Эти направления легко интегрируются, чем полностью определяется возможное движение таких точек (рис. 8.3).

Точки оси остаются неподвижными; точки плоскости можно сдвигать как угодно далеко вверх и вниз параллельно оси а точки вне плоскости можно сдвигать как

Рис. 8.3

угодно в плоскостях, параллельных Это можно проверить и прямо с помощью (8.1) для „неинфинитезимальных“ замен переменной.

Доказательство аналогичного общего результата для переменных, в котором в дело вступают структуры типа браслета омбилик, а не только прямые и плоскости, требует небольшой дозы элементарной теории действия групп Ли.

Мы называем множество точек, в которые можно перевести точку , ее орбитой относительно действия группы замен переменных. Точные определения этих понятий можно найти у Гибсона [30], где подчеркнут именно этот аспект теории. Группа преобразований -струй, порождаемая локальными заменами координат в нашем n-мерном пространстве, будет обозначаться через (независимо от того, действует ли она на на или на Через мы обозначаем ее подгруппу, состоящую из преобразований -струй, отвечающих преобразованиям координат, линейная часть которых в начале есть тождественное преобразование. Читатели, незнакомые с теорией групп, могут представлять себе и просто как множества матриц, с помощью которых описываются изменения струй при заменах координат.

Заметим попутно, что орбиты не всегда будут плоскими, как в конус и браслет омбилик, представляющие геометрию пространств II и как раз задают разбиения на -орбиты (для любого

Из рис. 8.3 видно, что при орбита точки содержит точку , а если то орбита точки содержит . С точки зрения первоначального нашего подхода это означает, что 4-струи и можно привести соответственно к виду с помощью замен переменных, производные которых в начале равны 1.

Должно быть вполне ясно, что для любого теория полностью аналогична. Для данной струи

можно подобрать так, что при любой замене переменной вида

переходит в -струю Возникает соблазн сказать: „По индукции можно устранить весь тейл“, однако имеются технические трудности, препятствующие проведению такого доказательства; не самая меньшая из них та, что,

уничтожив все полиномиальные члены, мы можем остаться с чем-нибудь вроде . И всё же то, каким образом правила, к которым мы подводим читателя, оказываются пригодными для устранения членов высшего порядка, создает очень четкое интуитивное убеждение в пригодности этих правил для устранения всего тейла. И действительно, в работе [26а] Рэнд преодолевает возникающие здесь технические трудности. Все моменты полного доказательства находят прямые аналоги в нашем обсуждении вопроса.

Далее, пространства „возможных смещений" точек , показанные на рис. это в точности пространства векторов, касательных в точке к орбите этой точки. Устранимость высших членов, например для случая связана со следующим обстоятельством: при любых значениях направления осей и были касательны к орбите точки . Поэтому оставаясь все время на орбите, мы могли произвольно изменить значения и (в частности, сделать их равными нулю), т. е. могли найти преобразование, которое фактически осуществило бы это изменение. Это движение по орбите с помощью интегрирования -финитезимальных" замен переменных имеет исходным прототипом использование решений дифференциальных уравнений для устранения всего тейла. Таким образом, условие устранимости высших членов звучит так:

„Каковы бы ни были значения высших членов, направления, параллельные подпространству высших членов, касательны к орбите рассматриваемой струи“.

Это геометрическое условие лежит в основе алгебраических условий устранимости высших членов.

Следовательно, мы должны уметь находить эти пространства касательных направлений систематическим образом, делая как можно меньше вычислений. Выше мы определили группу линейных преобразований (8.1), „продифференцировали" ее по отношению к и нашли касательные пространства, используя полученный результат. Внимательно проанализировав, что делает эта группа, мы можем избавиться от ее явного участия в вычислениях и тем самым существенно упростить их.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление