Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1 Конечная определенность и сильная конечная определенность

Напомним, что -струя гладкой функции получается взятием отрезка ее ряда Тейлора до членов порядка включительно и что разность мы назвали тейлом.

Часто бывает так, что -струя функции локально эквивалентна относительно гладких замен координат любой функции, представимой в виде

Рис. 8.1

т. е. любой функции вида где — функция порядка Такая функция называется -определенной в начале, и наша задача заключается в том, чтобы найти условия, при которых это имеет место. Например, функция не будет -определенной ни при каком как мы это уже видели в § 4 гл. 4, поскольку имеет на целую прямую меньше нулей, чем В гл. 4 мы показали, что функция с ненулевой производной в 0 является там -определенной, что морсовская критическая точка является -определенной и что определяется (в смысле конечной определенности) своей первой ненулевой производной.

Ясно, что каждая -определенная функция будет также и -определенной при всех и мы называем числом определенности наименьшее для которого является -определенной; будем обозначать его через Если, как, скажем, для такого конечного не существует, мы пишем и говорим, что — не конечно-определенная функция.

Иногда для нас особенно будут важны координатные замены, производная которых в нуле представляет собой тождественное отображение. Важность этого условия можно наиболее ясно проиллюстрировать в двумерном случае. Неплохо, например, знать, что вблизи начала функция нули которой изображены на рис. 8.1 (а), приводима к виду (рис. 8.1 (b)). Но если о функции нам приходится говорить в связи с изучением какого-либо отображения, нам может быть важно не только то, что она имеет в начале седло, но также и то, каковы направления линий ее нулей. Эти направления сохраняются (рис. при любой локальной замене координат с производной

в начале. В случае когда не просто -определенна, а такова, что любой тейл, добавленный к можно удалить заменой этого специального типа, мы скажем, что сильно -определенна.

Стоит повторить, что мы не предполагаем аналитичности; в действительности -струя — полезное понятие и в том случае, когда дифференцируема ровно раз. Мы предполагаем, что — гладкая функция, исключительно ради удобства формулировок.

Со струями связан ряд векторных пространств; мы будем называть их все без разбора пространствами струй. Вот они:

Таким образом, совпадает с пространством многочленов порядка — это пространство многочленов без свободного (постоянного) члена; состоит из многочленов без постоянного и линейных членов; — пространство однородных многочленов степени В гл. 7 нам пришлось уже встретиться с геометрией некоторых из этих пространств: есть пространство однородных квадратичных многочленов от двух переменных, изученное нами в § 2 гл. 5; М — пространство кубик из § 6 гл. 2, а совпадают с пространством многочленов введенным в § 2 гл. 7 и изображенным на рис. 7.4.

Следующий наш шаг будет состоять в более глубоком изучении геометрии последнего пространства, с тем чтобы взглянуть с новой стороны на упрощение рядов Тейлора. Этот подход в отличие от подхода, изложенного в § 3 гл. 4, обобщается на функции многих переменных.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление