Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. КОНЕЧНАЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ И ДЕФОРМАЦИИ

Эта глава — центральная в книге. Используя соответственно уточненные рассуждения гл. 7, мы показываем, какие начальные отрезки тейлоровских разложений могут встретиться в типичном случае (оставляя в стороне вопрос, действительно ли мы вправе в каждом конкретном случае ожидать типичности; впрочем, антология той физики, где исходят из неявного допущения, что нетрансверсальное не встречается, составила бы много больше томов, чем могли бы подумать многие физики). Однако какой от этого может быть прок, если имеет значение лишь весь ряд Тейлора?

В этой главе мы рассмотрим правила, которые позволяют получить точную информацию о функциях, исходя из отрезков их тейлоровских разложений, неважно, „типичных" или нет. Мы не даем доказательств этих правил, но геометрически показываем, почему, если таковые правила вообще существуют, следует ожидать, что они будут именно такими. Если наше изложение покажется темным или неубедительным, мы приносим свои извинения, но сформулированные результаты верны. Большинство из них доказано у Мезера [10—15], Левайна [29] (где сделано гораздо больше, но без установки на теорию катастроф), Брёкера и Ландера [9], Гибсона [30], Лю [28], Мартинэ [31], Сирсмы [32, 33], Тротмэна и Зимана [22] и Вассермана [36]. Мы ссылаемся на них на всех вместе как на „строгие источники", не делая никаких систематических попыток указать происхождение отдельных результатов.

Для удобства ссылок и в интересах тех, кто найдет последующие рассуждения трудными, мы собрали правила вычислений и определения в § 12, а примеры их использования даем в § 13. Эти два параграфа могут читаться как независимое целое, использующее лишь язык, введенный в гл. 2—6, хотя они должны показаться несколько нелогичными и странными без мотивировок, содержащихся в рассуждениях предыдущих параграфов главы. В §§ 10 и 11 приводится ряд вычислительных результатов, вытекающих из

наших главных результатов; эти параграфы можно прочитать как дополнение либо к §§ 1—9, либо к § 12.

Мы не будем вдаваться в обсуждение все увеличивающегося числа различных приемов для отдельных частных случаев, предназначенных для отыскания (или для получения дополнительной информации относительно) преобразований, существование которых гарантируется общей теорией. Просеивание трудной для чтения научной литературы о приложениях теории катастроф должно в свое время породить монографию „О вычислительных методах теории катастроф", адресованную нематематической аудитории, уже знакомой с материалом, излагаемым здесь (но не обязательно написанную нами). Говоря о вычислениях, следует отметить, что статья Сирсмы [33], хотя и недостаточно богатая мотивировками, чтобы служить введением в строгую теорию, содержит много тщательно и полностью проведенных вычислений (ориентированных, правда, скорее на чисто математические вопросы). Читатель, который уже знает, что должно быть сделано, найдет там прекрасное толкование того, как это должно быть сделано.

Нужно заметить, что соответствующая теория для функций уже не обязательно скалярных, гораздо сложнее и ее состояние не столь удовлетворительно. Однако если интересоваться лишь множеством нулей (как на рис. 4.5), то все становится опять проще; см. Мартинэ [34, 35].

Правила § 12 легко можно включить в любой пакет программ, которые занимаются выполнением формального дифференцирования. В виде добавления 1 мы приводим одну такую программу, составленную Олсеном, Картером и Роквудом из Университета Бригэма Янга Она находит всё, кроме самих тейлоровских разложений (это последнее — уже стандартная вещь).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление