Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7 Теорема Тома

Мы можем теперь сформулировать теорему Тома в пределах той точности языка, которой мы достигли.

В типичном случае -параметрическое семейство гладких функций для всякого и всех структурно устойчиво и эквивалентно (в смысле гл. 6) вблизи любой точки одной из следующих форм;

Некритическая

Невырожденная критическая, или морсовская,

Эти два первых типа не являются формами катастроф, поскольку здесь нет никакой зависимости от Все последующие формы уже будут катастрофами. Мы приводим как те прозвища, которые закрепились за ними, так и их символы в классификации Арнольда (основанной на подходе слишком глубоком, чтобы его можно было здесь объяснить).

(1) Каспоидные катастрофы:

складка (А 2)

сборка (А 3)

ласточкин хвост

бабочка

вигвам

(2) Омбилические катастрофы:

эллиптическая омбилика

гиперболическая омбилика

параболическая омбилика

вторая эллиптическая омбилика

вторая гиперболическая омбилика

символическая омбилика

Здесь символ обозначает морсовскую функцию вида

а аналогично — функцию вида

Нужно подчеркнуть, что число -координат в приведенной форме (т. е. форме, к которой приводится рассматриваемое семейство) может оказаться меньше, чем как это уже было в § 3; оставшиеся неиспользованными -координаты являются в таком случае „немыми". Скажем, ласточкин хвост может встретиться для четырехпараметрического семейства с параметрами здесь приведенная форма не зависит от или, более общим образом, для (-параметрического семейства с параметрами здесь приведенная форма не зависит от На самом деле может случиться и так, что -параметрическое семейство состоит лишь из морсовских функций, так что каждый из 2001 параметров немой.

Знаки ± указывают на наличие „двойственных" катастроф, с чем мы уже встречались; для формы с отрицательным знаком используются названия „двойственная сборка", „двойственная бабочка" и т. д.

Первоначальные семь элементарных катастроф Тома — это те из катастроф нашего списка, в которые не входит различие между двойственными катастрофами при этом игнорируется. Основанием для этого служит то, что геометрия для обеих катастроф пары по существу одна и та же; все же для приложений замена максимумов на минимумы бывает существенной.

Геометрию семейств Тома мы изучим в гл. 9.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление