Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6 Высшие катастрофы

Мы указали уже достаточно много стандартных локальных форм, к которым могут приводиться -параметрические семейства функций при а именно высшие каспоиды и высшие конические омбилики. Однако, в то время как при устойчивость является типичным свойством -параметрических семейств, на новых семействах в высших размерностях наш метод ломает себе зубы с самого начала. Легче всего понять, в чем тут дело, в случае двух переменных.

Точно так же, как в трехпараметрическом семействе устойчиво могут появляться отдельные функции

Рис. 7.16

в тейлоровском разложении которых нет квадратичных членов, семипараметрическое семейство может содержать функции в тейлоровском разложении которых в какой-то точке отсутствуют как квадратичные, так и кубические члены и оно начинается с членов четвертой степени. По аналогии с § 2 и 5 нам следовало бы теперь постараться определить, сколько имеется различных однородных многочленов четвертой степени от конечно, как всегда, с точностью до замены переменных.

К сожалению, их имеется бесконечно много.

Возьмем произвольную квартику с четырьмя различными прямыми вещественных корней (рис. 7.16) и попытаемся найти координаты, в которых она приводится к некоторому стандартному виду, действуя по образцу § 6 гл. 2. Взяв две из этих прямых в качестве новых осей координат, мы выделим сомножители в нашем многочлене х и у, и если еще на этих осях подходящим образом выбрать масштаб, то одной из оставшихся прямых можно придать любое желаемое направление, за счет чего в многочлене выделится еще, скажем, сомножитель наконец, умножив эти масштабы на общий скаляр, мы можем привести коэффициенты к более простому виду Но теперь мы использовали все бывшие в нашем распоряжении при выборе линейной замены координат возможности и у нас нет никаких средств для того, чтобы управлять поведением четвертой прямой. Похоже на то, что нет способа усовершенствовать систему координат дальше так, чтобы, скажем, привести многочлен четвертой степени к виду

Такого способа не просто не видно — можно доказать, что его не существует. „Новый" прием, к которому здесь приходится прибегнуть, вполне в духе математики девятнадцатого века. Определим двойное отношение четырех прямых на рис. 7.16 как число

здесь ординаты точек пересечения наших прямых о прямой Если одна из четырех прямых, скажем совпадает с осью у, то двойное отношение мы определим как

Несложное упражнение (решение которого можно найти в любом учебнике по проективной геометрии) — показать, что

(а) в качестве двойного отношения прямых на рис. 7.16 может получитьоя любое вещественное ненулевое число с;

Рис. 7.17

(Ь) двойное отношение не меняется при линейных заменах координат, при условии что сохраняется нумерация прямых.

Таким образом, у нас имеется бесконечно много классов четверок проходящих через (0; 0) прямых, а значит и квартик, которые не переводятся друг в друга линейными заменами переменных. (Читателю предлагается доказать, что две квартики, каждая с четырьмя различными прямыми корней, могут быть переведены одна в другую с точностью до знака, если и только если их корневые множества (четверки прямых) имеют одно и то же двойное отношение (при надлежащем упорядочении прямых в четверках).) Отсюда вытекает, что и никакая дифференцируемая замена не поможет: она лишь изогнет корневые прямые (как показано на рис. 7.17), но касательные в начале преобразуются линейно под действием производной и их двойное отношение не изменится.

По соображениям трансверсальности, для семипараметрического семейства является устойчивым свойство содержать элемент, для которого первые, вторые и третьи производные по х и у все обращаются в нуль; но условие, чтобы при этом всегда встречалась квартика одного и того же, фиксированного типа, уже не является устойчивым, поскольку квартики заданного типа образуют множество коразмерности не менее восьми. И действительно, малые возмущения могут изменить двойное отношение корневых прямых рассматриваемой квартичной струи, а это, как мы видели, нельзя скомпенсировать никакой гладкой заменой координат.

Тот аргумент, что трансверсальность, а поэтому и устойчивость типичны, применим только тогда, когда объектов, по отношению к которым требуется трансверсальность, лишь конечное число. Пусть некоторое семейство кривых в трехмерном пространстве в совокупности образует поверхность (рис. 7.18). Кривая х, проходящая через обязательно будет пересекать какую-нибудь из кривых нетрансверсально (ничего не поделаешь, сумма размерностей слишком мала). Возмутим кривую х, и в типичном случае она станет трансверсальной к этой (т. е. перестанет ее пересекать), но зато станет не трансверсальной к некоторой другой кривой Наш случай семимерной „кривой" х, проходящей через множество 5 квартик, расслоенное на слои при помощи двойного отношения X, имеет более высокую размерность, но строго аналогичен.

Шестипараметрические семейства приводят к таким же трудностям, когда они проходят (как это они могут делать

Рис. 7.18

в типичном случае, см. § 5) через функции с трехкратной вырожденностью. Пространство кубик от х, у, z аналогичным образом содержит бесконечное множество типов (инвариантом, заменяющим здесь двойное отношение, служит так называемый -инвариант, который мы не будем определять; но бесконечность типов можно установить и без его помощи, как это делается ниже). Итак, лишь для 5 свойство -параметрического семейства функций быть устойчивым является типичным, хотя оно может иметь место и при Это значит, что исходная формулировка теоремы Тома („четырехпараметрические семейства функций в типичном случае устойчивы и с точностью до знака и замены координат задаются в окрестности каждой особой точки одним из семи выражений распространима в полном объеме лишь на пятипараметрические семейства; мы приводим это ее обобщение в следующем параграфе. Более высокие размерности также важны и не являются недосягаемыми, но к ним приходится применять теорию, а не теорему.

(Для тех, кто знаком с элементарной теорией „действия групп Ли“: пространство всех кубик от имеет размерность 10, и невырожденные кубики образуют в нем открытое десятимерное подмножество. Оно не может быть объединением из конечного числа орбит, порождаемых действием группы так как размерность этой группы лишь 9 и, следовательно, ее орбиты имеют размерность Аналогично четырехмерная группа не может дать открытые орбиты в пятимерном пространстве квартик от х, у. Размерность пространства струй растет с ростом коранга и быстрее, чем размерность указанных групп; отсюда вытекает, что имеется сколько угодно бесконечных семейств типов. Классификация Арнольда [40] охватывает все „простые" типы плюс все бесконечные семейства типов с одномерными или двумерными инвариантами, подобными двойному отношению, встречающиеся в любой размерности. Всё, что в нее не попало, входит в трижды бесконечные семейства типов или того хуже.)

Пространство невырожденных (без совпадающих корней) квартик от х, у имеет коразмерность семь. Оно разбивается на четыре связные компоненты: квартики, у которых все корни вещественны; квартики с двумя вещественными и двумя комплексными корнями; квартики, у которых все корни комплексны и которые принимают лишь положительные значения; и, наконец, квартики, у которых все корни комплексны и которые принимают лишь отрицательные значения. Каждое из этих четырех множеств разлагается на „параметризованное семейство" „листов", коразмерности

8 каждый, состоящих из эквивалентных между собою относительно диффеоморфных замен квартик. Параметр в каждом случае родствен двойному отношению. Используя некоторое более широкое множество координатных замен, не обязательно диффеоморфных в начале, возможно сжать эти четыре семейства, или модуля, в четыре типа, предствителями которых могут служить формы Они лежат в основе катастроф двойной сборки. Подробности см. у Стюарта и Постона [25], стр. 110—147, Гибсона, Виртмюллера, дю Плесси и Лоэйенги [27] и Лю [28].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление