Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5 Трех-, четырех- и пятипараметрические семейства

Для семейств с более чем двумя параметрами уже неприменимы соображения § 2 и 3 о вырожденности квадратичного члена самое большее в одном направлении. Типичное -параметрическое семейство может устойчивым образом содержать функции, которые вырождены сразу в двух направлениях. Однако трехкратной вырожденности не должно быть, пока число параметров не достигнет 6, поскольку такая вырожденность требует, чтобы мы трансверсально прошли через нуль в -мерном пространстве квадратичных форм

от трех переменных. Иными словами, множество функций с тройными (и более высокими) вырождениями критических точек имеет коразмерность 6. Таким образом, для семейств с не более чем пятью параметрами мы получаем два класса: первый характеризуется тем, что лишь одна переменная может не входить в квадратичные члены, а для второго уже две переменные могут не входить в квадратичные члены. Рассмотрим эти два случая по очереди, не упоминая в дальнейшем о тех переменных, которые обязательно входят в квадратичные члены и зависимость от которых мы можем локально свести к одним

только этим квадратичным членам, независимо от как и раньше, т. е. о переменных с в первом случае и с во втором.

Исследуем сперва типичное семейство

Для него множество С в пространстве трехмерно, так что нам могут попадаться изолированные точки для которых все производные (по порядка меньше пятого от функции - равны нулю. Действительно, это те точки, для которых С проходит через начало в что в точности аналогично существованию изолированных точек с особенностью четвертого порядка для двухпараметрического семейства (см. § 3). По прямой аналогии с этим случаем, если мы расширим до четырехмерного пространства, добавив четвертую координату, отвечающую коэффициенту при члене пятой степени то в типичном случае она не будет равна нулю, когда остальные три координаты обращаются в нуль. (Подсчитайте размерности: типичная трехмерная гиперповерхность проходит мимо начала в четырехмерном пространстве.) Поэтому можно локально представить в виде , а семейство соответственно в виде

(положив, как обычно, — в основном так же, как и в случаях складки или сборки.

По тому же образцу, очевидно, можно построить -параметрическое семейство

для любого Хотя первым в этой серии семейств идет складка, простейшим случаем, в котором по-настоящему проявляются характерные черты этих семейств, является сборка, поэтому их всех именуют в ее честь каспоидами Трехмерное семейство, выписанное выше, называется ласточкиным хвостом, четырехмерное

— бабочкой (соотв. двойственной бабочкой), пятимерное

— вигвамом. Назначение этих экзотических наименований исключительно мнемоническое — выделить характерные геометрические признаки, присущие различным катастрофам; мы познакомимся с ними ближе в следующей главе.

Теперь обратимся ко второму случаю — случаю двойной вырожденности (коранг 2), в котором С проходит через начало. Алгебраически этот факт выражается в том, что матрица Гессе некоторой (отдельной) функции вся целиком обращается в нуль в некоторой точке т. е. принимает вид

(а не просто оказывается вырожденной с нулевым определителем, конечно, это последнее условие тоже дает вырожденность квадратичной формы, но с его помощью нельзя различить однократную вырожденность и кратную). Чтобы найти форму функции в этом случае, нам следует провести разложение по обеим переменным х и у одновременно до членов более высокого порядка, чем квадратические.

Жизнь при этом усложняется, так как приходится привлекать более мощную технику для того, чтобы решить, сколько именно членов ряда Тейлора надо еще добавить. Критерии для этого будут описаны нами в следующей главе. Доказательства их лежат глубже, чем доказательства аналогичных критериев для морсовского случая и для случая одной переменной, данные в гл. 4, но их применение требует лишь той алгебры и того анализа, которые нами уже были выше изложены. Для читателя будет полезным упражнением проверить с помощью этих критериев соответствующие приводимые ниже утверждения (например, что никакие члены более высокого порядка не могут изменить локальной формы функции

Напомним, что ряд Тейлора для функции в точке не имеет линейных и квадратичных членов. Всякая близкая точка либо лежит вне этом случае разложение функции в точке имеет ненулевые линейные члены, — либо лежит в С, но отвечает ненулевой точке поверхности С. (Это вытекает из того, что С проходит через (0, 0, 0) трансверсально. Как С, так и трехмерны, и потому проход через с ненулевой скоростью в С

влечет за собой проход через (0, 0, 0) с ненулевой скоростью в см. гл. 4.) Вблизи от точки но не в ней самой, мы можем иметь лишь одно направление, в котором функция чем квадратичная, и, значит, лишь особенности каспоидного типа. Типичное трехпараметрическое семейство в пространстве пересечет плоскость по двумерному множеству кубических точек (складки), ось по одномерному множеству особенностей четвертого порядка (сборки), а начало в некоторых изолированных точках, отличных от Эти последние мы можем игнорировать, сосредоточив свое внимание на достаточно малой окрестности точки Таким образом, в непосредственной близости от этой точки могут встретиться лишь поверхности точек складки и кривые точек сборки. В гл. 9 мы подкрепим это нестрогое рассуждение геометрическим анализом.

Приняв за начало и, как обычно, игнорируя постоянный член, мы получаем функцию, разложение которой не имеет линейных и квадратичных членов и начинается сразу с кубических

Теперь вспомним о геометрической классификации кубических форм, данной в § 6 гл. 2. Пусть К — пространство всех кубических форм , так что Разложение К на типы кубик задается браслетом омбилик Зимана. Итак, мы берем типичное трехпараметрическое семейство функций и смотрим на кубический член ему соответствует некоторая точка в К.

В типичном случае точка не будет началом поэтому изменением масштаба можно добиться, чтобы следовательно, мы можем обратиться к фото 1 (см. конец § 6 гл. 2). В типичном случае не будет лежать ни на ребре, ни на поверхности браслета, так что должно быть представимо в виде

Отсюда можно вывести (хотя соответствующее доказательство уже не столь элементарно, как в случае функции что сама функция локально приводится к виду (с надлежащим знаком) с помощью гладкой замены координат. В качестве упражнения читателю стоит проверить это, пользуясь правилами следующей главы.

Семейство в типичном случае проходит через трансверсально к К, как и раньше, поэтому его можно

записать в том же виде, что и любое другое трансверсальное семейство, которое мы пожелаем выбрать. Удобна такая форма:

(Равным образом мы могли бы в качестве квадратичного члена взять — поупражняйтесь с правилами гл. 8.) Знак плюс дает каноническую форму для катастрофы гиперболической омбилики, и знак минус — для катастрофы эллиптической омбилики.

Отметим, что поскольку изменения знака функции можно добиться заменой переменных, каждая из этих двух катастроф двойственна самой себе, подобно складке, ласточкину хвосту и вигваму и в противоположность сборке и бабочке.

Рассмотрим, далее, четырехпараметрическое семейство, для которого С проходит через начало в Ему тесно в трех измерениях пространства и в действительности нам следовало бы рассматривать его в семимерном пространстве полиномиальных функций вида

где для С достаточно места, чтобы существовать как четырехмерная „поверхность". Покуда не все из коэффициентов с обращаются в нуль, квадратичная часть разложения вырождается не более чем в одном направлении, так что, как и раньше, в типичном случае будет локально записываться в одной из следующих форм:

при подходящем выборе координат; соответственно при прохождении через эти точки мы получим регулярные точки, складки, сборки, ласточкины хвосты и бабочки, как в § 5. Но там, где С пересекает четырехмерное пространство К однородных кубик, выделяемое условием это пересечение в типичном случае будет происходить по целой кривой; действительно, в семимерном пространстве пересечение двух четырехмерных объектов должно быть одномерным. Посмотрим, как проходит эта кривая по К.

В типичном случае не проходит через начало, и мы снова можем перенести наши рассмотрения на единичную 3-сферу и использовать фото 1. Далее, в типичном случае

наша кривая может (хотя и не обязана) пересекать поверхность браслета омбилик, однако не должна пересекаться с его ребром — кривой точных кубов (кубик типа (iv)). Мы получаем, таким образом, целые кривые, вдоль которых функция может быть локально представлена как причем знак перед меняется на противоположный в некоторых изолированных точках , где можно записать в виде

В отличие от случая кубический член не гарантирует, что мы можем убить высшие члены. (Этот момент мы уже обсуждали в § 4 гл. 3). Поэтому нам приходится ввести в рассмотрение член четвертого порядка. К счастью, нет необходимости описывать аналог браслета омбилик для квартик (форм четвертого порядка) (хотя это и было проделано, см. Стюарт и Постона [25], стр. 110—147). Дело в том, что, хотя пространство квартик и пятимерно, в нашем случае в игру входит лишь одна размерность и мы можем ограничиться проводимым ниже алгебраическим анализом. А именно предположим (самый общий случай), что

Тогда

где — однородный многочлен степени Положим

Тогда

Поэтому если то можно записать в виде

где и обещанные выше правила покажут, что с помощью локальной гладкой замены переменных можно представить в точности в виде

Если же равно нулю, то мы привели к виду

и можем повторить всё сначала — привести это выражение к виду

и затем устранить остаток порядка если Если же опять повторяем все сначала. Либо этот процесс где-нибудь остановится — и тогда имеет вид для некоторого либо же мы получим, что

(где под понимается функция, все производные которой в начале равны нулю), аэто крайне атипично!

Итак, наша задача сводится к тому, чтобы найти, с какими значениями мы можем в типичном случае встретиться, когда кубическая часть перемещается вдоль кривой

Ответ пишется в общем по тому же образцу, что и в случае каспоидов. Отдельные точки на кривой в которых не представляется в виде в типичном случае не могут быть вырождены сильнее, чем (Заметьте, что мы имеем здесь две, а не четыре различные возможности как можно было бы ожидать с первого взгляда, поскольку Типичное проходящее через них семейство может быть взято в виде

это — канонические формы для катастрофы параболической омбилики и двойственной к ней катастрофы.

Для пятипараметрического семейства становится двумерным и поэтому пересекает поверхность браслета омбилик по кривым. В большинстве точек этих кривых приводится к виду но в отдельных изолированных точках

7 исчезает член четвертой степени и можно типичным образом представить в одной из форм каждая из которых самодвойственна. Проходящие через них трансверсально семейства можно взять в форме катастрофы второй гиперболической омбилики

и второй эллиптической омбилики

Эти названия позволяют предположить, и совершенно

правильно, что имеется целая последовательность высших омбилик вида

для четных (это — высшие параболические омбилики и двойственные к ним) и

для нечетных (это — самодвойственные высшие гиперболические омбилики и высшие эллиптические омбилики). Можно было бы назвать весь этот набор устойчивых типов коническими омбиликами, собрав вместе эллипсы, гиперболы и параболы под их обычный зонтик.

Двумерное не только пересекает поверхность браслета омбилик по кривым, но также может типичным образом пересекать его ребро (кривую точных кубов) в изолированных точках. Для такого изолированного значения 7 в подходящей системе координат мы получим

Здесь снова нужно исследовать члены высшего порядка. Мы найдем, что для пятипараметрического семейства в типичном случае нам встретятся лишь функции которые локально представимы как Семейства, проходящие через такую функцию трансверсально, эквивалентны семейству

это — катастрофа символической омбилики и двойственная к ней.

Они начинают новое семейство устойчивых типов, но это семейство довольно быстро кончается (см. Арнольд [26] и Рэнд [26а]).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление