Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4 Двухпараметрические семейства

Если проведенное выше исследование повторить для двумерного (двухпараметрического) семейства функций, такого, скажем, как возникающее в случае машины Зимана, то множество С (рис. 7.2) надо будет заменить множеством, размерность которого равна или, другими словами, поверхностью. Аналога рис. 7.2 мы нарисовать можем, для этого требуется четырехмерное пространство: одна размерность для х, две для двумерного параметра рассматриваемого семейства и еще одна для значений производных Но аналогичное рассуждение проходит, и мы можем дать аналог рис. 7.3, а именно рис. 7.10.

На рисунке подчеркнуто, каким сложным в смысле глобального поведения, с дырами и самопересечениями, может быть С. Но мы рассматриваем всё локально, а трансверсальность гарантирует отсутствие локальных осложнений. Теперь С пересекает конус типичным образом по кривой (а не в одной точке, как раньше), но по-прежнему не проходит в типичном случае через начало. Поэтому опять в типичном случае квадратичный член разложения для будет вырождаться лишь в одном направлении. По лемме о расщеплении можно локально привести к виду

Изучим Аналогом рис. 7.4 сложит рис. 7.11. На этот

Рис. 7.10

раз типичная поверхность С может пересекать ось в изолированных точках, вроде показанной на рисунке точки . В отдельных местах, следовательно, третья производная по обращается в нуль вместе со второй и, значит, можно написать

где — некоторая постоянная. Произведя в таких точках гладкую перепараметризацию координаты можно устранить тейл, так что останется только

Прежде чем приступить к изучению того, как типичное семейство проходит через такую точку, нам нужно еще рассмотреть кубические точки, вроде точки К, где Использовать двухпараметрическое семейство для того, чтобы трансверсально пройти через кубическую функцию, — это своего рода „многократное уничтожение: мы уже видели, что „универсальный способ сделать это доставляется однопараметрическим семейством. Ввиду трансверсальности такой путь обязательно должен быть включен в наше семейство, ибо вообще, если возможно, чтобы кривая, проходящая через данную точку подмногообразия была нетривиальным образом трансверсальна к М (это требует, конечно, чтобы то объекты более высокой размерности будут трансверсальными к М в этой точке в точности тогда, когда они содержат некоторую такую кривую (см. рис. 7.12). Допустим, что точке К отвечает в пространстве параметров точка . В этом пространстве можно найти кривую Т, по которой семейство трансверсально проходит через Иными словами, однопараметрическое подсемейство

ведет себя, как при катастрофе складки. Включим теперь Т в семейство кривых гладко изменяющихся с

Рис. 7.11

изменением Я, как на рис. 7.12(g). Каждая из них дает однопараметрическое семейство, близкое к Поскольку структурно устойчиво, все они выглядят в точности, как

Точно так же, как мы ранее усилили утверждение об устойчивости морсовских функций „любой сосед выглядит так же“ до утверждения „любое содержащее семейство, параметризованное посредством можно сделать независящим от при помощи замены координат, гладко зависящей от — так теперь мы можем усилить утверждение об устойчивости семейства заменив сходство соседей на „постоянство близких семейств". Это означает, что если на рис. 7.12(c) выбрать координаты в окрестности точки так, чтобы кривая Т совпадала с осью а кривые — с прямыми то усиленное утверждение об устойчивости позволяет нам улучшить далее выбор координат таким образом, чтобы изменение не влияло на вид (В § 6 гл. 8 мы уточним некоторые детали.)

Это делает координату „лишней" и дает возможность записать локально в виде

так что локально мы можем игнорировать

Подлинное доказательство этого факта (Брекер и Ландер 19], Тротмэн и Зиман [22]) или, точнее, общего результата, который мы лишь иллюстрировали нашим примером, в некотором смысле проводится более прямо: оно не требует выбора Т и семейства кривых Наше изложение имеет то преимущество, что оно убеждает в правдоподобии результата, не требуя привлечения сложных математических методов (которые на этот раз, в отличие от случая устойчивости морсовских функций, действительно отличаются большей глубиной).

Для семейства приведенного к указанному локальному виду, аналогом рис. 7.7 будет, очевидно, служить рис. 7.13.

Переходя теперь к самой сути задачи, займемся рассмотрением изолированных точек типа точки на рис. 7.11. Тут нам нужна вся двумерность С, а значит, и чтобы сделать пересечение с осью трансверсальным. Одним из семейств, удовлетворяющих искомому требованию трансверсальности, и, следовательно, как было выше замечено, универсальным примером служит при

Рис. 7.12

Рис. 7.13

Рис. 7.14

Мы убрали выбрав подходящий масштаб по оси При типичное семейство вблизи будет выглядеть так же, только со знаком минус. Эти две возможности приводят соответственно к катастрофе сборки и катастрофе двойственной сборки. Аналогом рисунка 7.7 или 7.13 для сборки будет рис. 7.14. Мы занимались анализом геометрии этого рисунка в гл. 6. Для двойственной сборки всё аналогично, только на рис. 7.14(a) нужно поменять местами слова „минимумы" и „максимумы", а рис. 7.14(b) нужно перевернуть.

В этом случае более высокой размерности трансверсальность уже не так легко „увидеть", и, разумеется, настоящая проверка должна быть алгебраической, аналогично тому как настоящий критерий того, что функция морсовская, состоит в невырожденности матрицы ее вторых частных производных. (Вычислительные правила для такой алгебраической проверки даны в следующей главе.) Все же стоит определить точную форму поверхности, изображенной на рис. 7.11, для случая нашего специального семейства, чтобы сделать явным, если и не доказать, тот факт, что оно действительно трансверсально.

Прежде всего заметим, что на рис. 7.7 (а) представлено в точности нулевое сечение графика на рис. 7.2 (сечение горизонтальной плоскостью, изображенной на этом рисунке) для частного случая

В самом деле, если мы вложим плоскость в качестве координатной плоскости

в трехмерное пространство рис. 7.2, то кривая

на рис. 7.7 будет служить как раз пересечением С этой координатной плоскости с графиком

производной Аналогично поверхность в пространстве показанная на рис. 7.14(a), есть поверхность С пересечения трехмерной плоскости

с графиком поверхности

Рис. 7.15

в четырехмерном пространстве (не поместившемся на рисунке).

В дальнейшем мы игнорируем и поэтому опустим в нижний индекс и будем писать просто и. Представляя себе поверхность С, как выше, мы видим, что для нее имеется весьма естественная система координат, а именно и и При любом выборе мы получаем единственную точку в С, так как уравнение этой поверхности можно переписать в виде

(Это означает, что мы смотрим на поверхность С с той же стороны, что и на рис. где ось и горизонтальна, а ось вертикальна.)

Выбрав какую-нибудь точку (и, 12) в С, т. е. точку

мы можем рассмотреть 4-струю для в точке и. Она имеет вид

Постоянный член нас не интересует; он нужен разве что для уточнения рис. 7.14(b). Линейные по члены, как и ожидалось (см. § 2), отсутствуют, так что мы должны изучить точки

в пространстве Г коэффициентов многочленов

как на рис. 7.4 и 7.11.

Очевидно, множество этих точек представляет собой просто плоскость изображенную на рис. 7.15, где показано также, как меняется положение точки на этой плоскости с изменением и и

Эта диаграмма важна для уяснения геометрии сборки и катастроф более высокого порядка, и мы еще вернемся к ней в следующей главе. В настоящую минуту заметим лишь, что поверхность С явным образом трансверсальна к оси — и как множество, и в том смысле, что если мы пройдем по С через с ненулевой скоростью, то соответствующее движение в через ось также будет происходить с ненулевой скоростью.

Итак, мы провели подразделение пространства струй (и тем самым пространства функций К" еще на один шаг дальше. Среди функций без линейных членов (к ним мы приходим, рассматривая -параметрическое множество, служащее обобщением множества С (рис. 7.2) для случая функции, разложение которых начинается с невырожденных квадратичных членов — и которые, следовательно, приводятся к квадратичным формам, — образуют множество коразмерности нуль. Функции, приводимые к виду с особенностями типа складки, имеют коразмерность 1, а приводимые к виду с особенностями типа сборки — коразмерность 2. „Остаток" есть множество коразмерности 3, как мы легко увидим, комбинируя рассуждения, проведенные нами по поводу рис. 7.10 и 7.11. Дальнейшим разложением этого остатка мы займемся в следующих параграфах.

Снова отметим, что эти коразмерности не зависят от хотя размерности самих множеств и зависят от (даже если ограничиться рассмотрением, скажем, 4-струй). Очевидно, что идея коразмерности — самостоятельная и мощная идея.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление