Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Нетрансверсальность и симметрия

В гл. 6 мы видели, что семейство

не является структурно устойчивым. Легко проверить, что оно не трансверсально в описанном выше смысле: график не трансверсален к нулевой плоскости. Действительно,

и соответствующая поверхность пересекает нулевую плоскость, как показано на рис. 7.8. (Если этот рисунок

покажется вам знакомым, то заметьте, что он появляется здесь не в обычной своей роли. Для катастроф, потенциал которых зависит лишь от одной переменной, имеют место различные случайные совпадения, которые уже не наблюдаются в случае двух или более переменных.) Упомянутое пересечение, очевидно, не трансверсально в начале; например, множество, по которому происходит пересечение, представляет собой знакомую фигуру — параболу с осью, а в случае трансверсальности мы должны были бы иметь вблизи начала одну-единственную кривую. (Вообще трансверсальные пересечения локально являются многообразиями.)

Если мы возмутим добавив член то поверхность сдвинется вверх или вниз и пересечение станет трансверсальным, как на рис. 7.9. Это делает в высшей степени правдоподобным предположение, что для расширенного семейства

пересечение будет уже трансверсальным. Алгебраические критерии, о которых мы упоминали выше, подтверждают это.

Иногда потерю трансверсальности можно предотвратить, налагая различные специальные, т. е. атипичные условия. Например, допустим, что нас интересуют лишь четные функции от х, т. е. функции, для которых Как легко видеть, в тейлоровских разложениях четных функций отсутствуют нечетные степени х, и поэтому для всякого однопараметрического семейства таких функций кривая, соответствующая кривой С (рис. 7.4), должна лежать целиком в плоскости поскольку является как раз коэффициентом при нечетной степени. В пределах этой плоскости кривая может трансверсально пересекать ось Пересечение не было бы трансверсальным и, следовательно, как и выше, было бы неустойчивым, если бы мы добавили нечетные члены, но при условии, что мы ограничимся рассмотрением четных функций, это пересечение трансверсально и устойчиво. Фактически, применяя общую технику для этого специального случая, можно показать, что именно семейство а не складка, будет „универсальным" локальным однопараметрическим семейством функций вблизи

К приложениям теории это имеет двоякое отношение. Условия симметрии вроде могут быть „наложены

Рис. 7.8

Рис. 7.9

природой" с весьма большой точностью, как, скажем, в кристаллографии (см. гл. 14, §§ 15—20), и весь анализ тогда проводится в пределах соответствующего пространства функций. Таким образом, утверждение „почти все происходит так нельзя усилить до „все происходит так". Однопараметрические семейства типа встречаются (устойчиво!) в природе, и задача ученого-математика состоит в выяснении того, что за симметрия делает эти семейства устойчивыми, — в точности так же, как ограничение „гамильтоновыми" системами делает устойчивым простой гармонический осциллятор (см. обсуждение маятника в гл. 6). С другой стороны, инженеры и экспериментаторы часто стараются строить системы со специальными симметриями, отчасти потому, что это с поверхностной точки зрения должно упростить анализ системы. (Прекрасное изложение этого вопроса можно найти у Томпсона и Ханта [23].) По этой причине они часто ищут функции, которые имеют больше особенностей, чем типичные, пытаясь добиться пересечения С с осью если иметь в виду предыдущий пример. Типичным образом они не добиваются этого в полной мере. Однако чем лучше их техника, чем ближе они к тому, к чему стремятся, тем сильнее влияние несовершенств, из-за чего и проваливается. (Мы увидим много таких примеров в главах, посвященных приложениям.) Нельзя безнаказанно прибегать к рассуждениям, основанным на соображениях типичности проектируемых систем, не учитывая атипичности, к которой (типично) стремится проектировщик.

Это ярко выявляется в недавней статье Фишера и Марсдена [24], занявшихся вопросом, имеет ли математическое пространство-время определенные свойства устойчивости, часто предполагаемые в научных исследованиях. Ответ: имеет, если оно не обладает некоторыми весьма специальными свойствами симметрии. Многообразие вариантов пространства-времени с этими симметриями имеет бесконечную коразмерность в пространстве всех математически возможных вариантов, поэтому не только типичное пространство-время не лежит в этом многообразии, но даже типичное -параметрическое семейство вариантов пространства-времени будет лежать вне его. В очень сильном смысле слова почти никакое пространство-время не имеет этих симметрий, и нет никаких свидетельств в пользу того, что физическое пространство-время обладает ими.

Однако из-за удобства этих симметрий при анализе почти всякое пространство-время, встречающееся в физической литературе, имеет их.

Проектируя мосты или вселенные, люди типично думают об атипичном. Результатом часто оказывается неустойчивость.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление