Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2 Однопараметрические семейства

Мы уже видели в гл. 4, как устойчивость морсовской функции вытекает из устойчивости трансверсальности. „С точностью до перепараметризации“ морсовскую функцию нельзя изменить малым возмущением, а ее различные критические точки — максимумы, минимумы и седла — сохраняются как критические точки того же типа. Однако если возмутить функцию, изображенную на рис. 4.19 (а) побольше, как на рис. 7.1, то „по дороге", как несложно проверить, нам обязательно встретится функция, производная которой не будет трансверсальна к нулевой прямой (рис. 7.1(b)).

Однако, прибегнув к некоторого рода высшей трансверсальности, мы все же можем определить типичный способ, каким происходит последовательность возмущений в целом.

Нам надо рассмотреть функцию которая меняется в зависимости от некоторого внешнего параметра (в приложениях это может быть время, положение центра тяжести, температура и т. д.). Мы можем записать такую параметризованную функцию либо как семейство функций либо, что более удобно, как одну гладкую функцию

Мы готовы к тому, что для отдельных функций производная не будет трансверсальной к нулю, как на рис. 7.1(b). Но аналогично предыдущему мы можем рассмотреть семейство отображений как одно

Рис. 7.1

отображение

Индекс X указывает, что мы берем производные только „по пространству Х“, т. е. только по х, не по Причина этого в том, что нас интересует характер критических точек в фиксированный, хотя и произвольный, момент рассмотрев машины, изученные в гл. 5, можно убедиться, что обращение в нуль производной по не играет здесь никакой роли.

Рис. 7.2 показывает график типичной функции для случая Отметьте, что имеется момент для которого производная не трансверсальна к нулю в точке но что тем не менее трансверсальна к нулевой плоскости в точке , а на самом деле и всюду. Именно эта трансверсальность является типичной, и ее мы и будем использовать.

Обозначим точку через Р. Графики нулевой функции и функции яеляются двумерными поверхностями в По соображениям размерности они не могут (в типичном случае) пересекаться лишь в изолированных точках. Их пересечением в типичном случае служит некоторая кривая С. Аналогичным образом в случае как суть отображения и поэтому их графики являются -мерными поверхностями в Размерность их пересечения в типичном случае равна т. е. это пересечение есть кривая С; и пересекаются по С они трансверсально. Итак, типично, имеются

(а) места, где регулярна;

Рис. 7.2

(b) места, где трансверсально пересекает нуль, т. е. имеет невырожденную морсовскую особенность;

(c) места, подобные точке Р.

В случаях (а) и (b) структурная устойчивость соответствующих индивидуальных функций означает, что, слегка варьируя мы получаем с точностью до перепараметризации то же самое. Фактически эту лерепараметризацию можно провести в гладкой зависимости от так что вовсе исчезнет из выражения для в окрестности рассматриваемой точки. (Для случая (Ь) мы это уже подробно доказали (следствие 6.2). Случай (а) легче, и читателю предоставляется самому получить нетрудное обобщение соответствующего „непараметризованного“ утверждения.) Поэтому вблизи таких точек можно локально представить одним из выражений (7.1).

Остается изучить случай Один из способов сделать это состоит в том, чтобы пройти через точку Р по кривой С. (Формально это не является необходимым, если в нашем распоряжении имеется вся нужная математическая техника, но для нашего анализа с картинками" это будет очень полезно. Другой наглядный подход можно найти у Лю [28].) Всюду вдоль С мы имеем критические точки; на самом деле С как раз и есть множество точек, в которых разложение Тейлора для не имеет линейного члена. В настоящую минуту нас не волнует постоянный член разложения, так как мы изучаем не значения функций вдоль С, а их форму. Таким образом, нас интересует в первую очередь квадратичный член.

Чтобы выявить некоторые важные моменты, мы возьмем далее хотя при этом по причине большой размерности уже нельзя будет рисовать графики. Представим себе, что в момент мы находимся в точке кривой С. (Если в каком-либо приложении трактуется как время, не следует путать его с Действительно, „поворачивает вспять", когда мы проходим точку Р, так что представляет собой совсем другое время, говорящее, „как далеко мы продвинулись по картинке".) Можно считать, что в точке Р. Вблизи точки функцию можно записать в виде

— постоянная, могут быть обычным образом выражены через вторые частные производные. Сопоставляя каждому квадратичному выражению

от двух переменных тройку его коэффициентов, мы видим, что при изменении квадратичные члены рассматриваемого тейлоровского разложения пробегают кривую в трехмерном пространстве I всех квадратичных выражений. Значит, двигаясь вдоль кривой С в мы одновременно движемся вдоль другой кривой, скажем С, в пространстве Чтобы увидеть, что встречает на своем пути эта вторая кривая, мы должны поближе рассмотреть пространство

В § 5 гл. 2 мы показали, что тип квадратичной формы в зависит от ее расположения относительно некоторого двойного конуса — так называемого дискриминантного конуса вырожденных квадратичных форм. По мере нашего продвижения по С, точка вычерчивает кривую С в которая в типичном случае трансверсальна к дискриминантному конусу (рис. 7.3). Мы снова видим, что, за исключением ряда изолированных значений (как, например, значения которому отвечают точка на рис. 7.2 и точка на рис. 7.3), квадратичная часть функции определяемая ее второй производной, невырожденна. Таким образом, хотя первая производная равна нулю во всех точках кривой С по самому ее определению, квадратичная часть всюду, кроме точек вроде Р, имеет тип либо (как в либо (как в либо же

Хотя типичная кривая С может пересечь 5 (трансверсально), она не пройдет через начало. Действительно, одномерная кривая типично пересекает двумерную поверхность в по множеству размерности но в типичном случае кривая не проходит через заданную точку. Это означает

Рис. 7.3

что форма не может стать более вырожденной, чем где

Эта форма вырождается только «в -направлении». Лемма расщепления для семейств (теорема 6.1) показывает теперь, что вблизи мы можем заменить на в гладкой зависимости от и представить в виде

где знак при зависит от того, на какой поле конуса лежит точка — функция, первая и вторая производные которой равны нулю в (0.0). Мы устранили теперь переменную и можем ее игнорировать.

Проведенный нами анализ годится не только для но и в общем случае. Если, скажем — типичное однопараметрическое семейство функций то вблизи неморсовских точек можно привести к виду

На этот раз пространство возможных квадратичных форм

шестимерно, и мы не приводим аналогов рисунков 7.2 и 7.3. (Случай прекрасно выявляет идею, а общее доказательство требует строгого математического подхода.) В общем случае типичное однопараметрическое семейство функций имеет в основном регулярные и морсовские точки плюс изолированные неморсовские особые точки, где коранг матрицы Гессе равен 1. Вблизи последних может быть представлено в виде

и при его изучении снова можно обращать внимание лишь на Итак, без потери общности можно ограничиться исследованием однопараметрических семейств функций от одной-единственной переменной

Для удобства будем писать вместо их вместо Мы будем теперь продвигаться вдоль С, рассматривая разложение Тейлора наших новых функций более пристально, до порядка 4:

здесь — постоянная и для всех Коэффициенты

Рис. 7.4.

выражаются через производные. Это дает нам новую кривую

в новом трехмерном пространстве Г с координатами Квадратичный член разложения исчезает при т. е. в плоскости (рис. 7.4). Кривая С в типичном случае пересекает эту плоскость в изолированных точках, вроде Р, в которых исчезает квадратичный член, т. е. обращается в нуль. Далее, типичным образом, когда обращается в нуль, то в нуль не обращается, так как иначе кривая С пересекала бы ось а две кривые в трехмерном пространстве в типичном случае не пересекаются. Поэтому если не имеет вида тейл (после соответствующей морсовской перепараметризации приводится тогда в точности к виду то она имеет вид тейл, где По теореме 4.4 она может быть тогда приведена в точности к виду

Резюмируем: типичное однопараметрическое семейство функций имеет неособые точки, вблизи которых оно приводится к виду

морсовские точки, вблизи которых оно записывается как

и изолированные точки, вблизи которых приводится к виду

Мы видим здесь силу идеи коразмерности (§ 11 гл. 4). Наши рассуждения равным образом годятся и для пространства многочленов вида или вида или, вообще, вида — во всех

случаях типичная кривая пройдет мимо множества многочленов, для которых так как коразмерность этого множества в каждом случае равна 2. Поскольку того факта, что или отлично от нуля, достаточно, чтобы определить искомую локальную форму, те же самые соображения трансверсальности применимы независимо от того, сколько членов по х мы допускаем. Для 3 множество -струй от х, которые не приводятся к виду или в достаточно малой окрестности нуля, имеет коразмерность 2 в множестве всех -струй без линейных членов независимо от Это приводит нас к мысли, что множество всех функций, которые не всюду приводятся к одной из этих форм, имеет коразмерность 2 в пространстве всех функций. Такое представление полезно в том отношении, что дает возможность догадываться о том, что должно быть верным, но уже не столь полезно для того, чтобы получать строгие доказательства найденных таким образом истин, из-за технических сложностей, возникающих при рассмотрении (бесконечномерного) пространства „функций, определенных вблизи данной точки", или ростков, — пространства, к которому пространства струй служат последовательными приближениями.

Отметим также, что множество неморсовских квадратичных частей имеет размерность нуль в пространстве квадратичных форм от одной переменной, размерность 2 (конус) на рис. 7.3, и т. д., но оно имеет одну и ту же соразмерность, а именно 1 в пространстве квадратичных форм от переменных, каково бы ни было

Все приведения, которые мы выше проделали, основаны на результатах, доказанных нами полностью: мы использовали трансверсальность лишь для того, чтобы найти то, что мы затем приводили к полиномиальному виду. Но пока мы еще не проанализировали зависимость от для (7.3). Это ведет нас к наиболее глубокой части всей теории. В точности так же, как любой типичный минимум трансверсально к нулю) выглядит, как и всякий другой после перепараметризации), любой трансверсальный путь через любую неморсовскую функцию через которую можно пройти трансверсально некоторым конечномерным семейством, выглядит подобно всякому другому. Это объясняется ниже в § 7 гл. 8 как эквивалентность универсальных семейств. В это довольно легко поверить в случае если посмотреть на рис. 7.2-7.6; этот факт верен и в общем случае, но доказывается нетривиально. Он означает, что если мы нашли какой угодно трансверсальный путь через то мы знаем, что он должен быть типичным. Но один из

трансверсальных путей через задается выражением

как нетрудно „проверить" с помощью построенных для этого семейства рисунков, аналогичных рисункам 7.2, 7.4. Таким образом, вблизи точек, где выполняется условие (7.3), существуют такая перепараметризация по (в данном случае не более чем сдвиг начала и изменение знака) и такая зависящая от замена координат на (мг, после которых получает выражение

Теперь легко увидеть, что семейство структурно устойчиво, так как рисунки не изменяются качественно (в частности, трансверсальные пересечения остаются трансверсальными) при малых возмущениях; поэтому во всех случаях тип точек останется прежним, и семейство после малого возмущения можно будет привести к тому же самому виду.

Содержащая их часть функции изменяется при изменении так, как показано на рис. 7.5. Локальный максимум и локальный минимум сближаются, сливаются при в неморсовскую особенность и исчезают. Если остальные члены (квадратичные по все положительны, то минимум по дает морсовский локальный минимум для а максимум дает некоторое седло. Иные наборы знаков дают соответствующие седла. Рисунок 7.6 показывает это для семейства (стрелками указаны направления наискорейшего спуска). Две особые точки (для обеих встречаются и исчезают. Если же выглядит как то мы получаем такую же картину, но перевернутую вверх ногами, с максимумами и седлами. Для мы можем получить минимум (-седло), сливающийся с -седлом (в терминологии § 2 гл. 4), или вообще -седло, сливающееся

Рис. 7.5

Рис. 7.6

Рис. 7.7.

-седлом. Для это будет седло, сливающееся максимумом.

Эти качественные черты картины могли бы быть усмотрены уже из рис. 7.2. Что нового дает стандартная форма, так это то, что она позволяет делать выводы о свойствах различных явлений на основе их алгебраического описания в подходящих координатах. Так получаются многие интересные предсказания, например о яркости радуги (см. гл. 12). Некоторые неочевидные факты мы можем вывести уже из рис. 7.2. Критические точки задаются решениями уравнения

т. е.

Значит, критические точки при слиянии приближаются друг к другу по параболе, изображенной на рис. 7.7 (а). Критические значения в них

сходятся друг к другу, касаясь по клюву, показанному на рис. 7(b).

Эти картинки универсальны в том смысле, что они являются всеобщими для типичных путей, по которым однопараметрическое семейство функций может пройти через неморсовскую особенность. Они определяют катастрофу складки, простейшую из всех катастроф.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление