Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. КЛАССИФИКАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ТОМА

Цель этой главы — дать интуитивно-геометрический набросок того, как теорема Тома о классификации элементарных катастроф выводится из рассмотрений, связанных с трансверсальностью. Математические трудности, возникающие при попытке развернуть этот набросок-программу в строгое доказательство, мы выделим в виде отдельных простых и относительно правдоподобных утверждений, которые можно принять на веру, чтобы не прерывать хода рассуждений. В действительности доказательства этих утверждений очень трудны, и именно здесь и вступает в игру более глубокая математика, стоящая за теоремой Тома. Достаточно подготовленный математически читатель найдет полное изложение в книге Брёкера и Ландера [9] или статье Тротмэна и Зимана [22]. Дополнительные мотивировки в этом направлении будут приведены в гл. 8. Промежуточный шаг представлен книгой Лю [28] — более строгой, чем наша, более геометричной и более богатой мотивировками, чем полные изложения. Мы хотели бы отметить, что относящиеся к трансверсальности рисунки у Лю, в которых выделены некоторые специальные направления, отвечают более прямо, чем наши, алгебраическим условиям трансверсальности из формального доказательства. Принятый нами подход имеет с точки зрения наглядности то преимущество, что позволяет снабдить картинками большее число случаев.

Достоинство такого наброска в том, что становится ясным, почему должна быть верна какая-то теорема типа теоремы Тома. Знаменитый список семи элементарных катастроф лишается тем самым доли своей таинственности. Предположения, при которых доказывается теорема Тома, становятся естественными ограничениями, определяемыми лежащей в основе идеей. Можно надеяться, что, пусть небольшое, понимание того, каким образом доказывается эта теорема, окажется полезным для всех, кто пожелает применять ее, не продираясь предварительно через полное математическое доказательство, но кому трудно принять результат

целиком на веру, ибо это ведет к недопониманию или ошибкам.

В этой главе мы сосредоточим свое внимание на следующем вопросе. Если задано -параметрическое семейство функций, то какие локальные типы функций встречаются там типичным образом? Это одна из нитей того сплетения, которое представляет собой теория катастроф. Столь же важным является и обращение этого вопроса: если задана некоторая функция, то как может выглядеть содержащее ее семейство (вблизи данной функции)? Ответ на этот последний вопрос, как мы увидим в следующей главе, получается с помощью того же самого математического подхода. Геометрия катастроф из списка Тома будет исследована в гл. 9.

1 Функции и семейства функций

Пусть задана функция где X — некоторое многообразие (обычно это просто Так как типичными являются морсовские критические точки (если вообще имеются критические точки), то типичным образом в данной точке либо либо же но матрица Гессе неособая; по лемме Морса мы можем поэтому записать локально одним из следующих способов:

которые соответственно представляют некритическую точку и морсовское -седло.

Но что если перед нами не индивидуальная функция, а целое семейство? В гл. 5 мы рассмотрели ряд машин, для каждой из которых возможно варьировать выбор функции среди некоторого семейства функций. В этих примерах варьирование функции производится с помощью механических средств, например изменением положения центра тяжести или натяжения резинки. Важный математический момент, который здесь надо подчеркнуть, состоит в том, что эти семейства функций могут содержать отдельные неморсовские и, следовательно, атипичные функции. Тем не менее сами семейства являются типичными как семейства. Как и раньше, мы не станем уточнять, что мы имеем в виду под „типичностью", а положимся на интуицию читателя: они типичны в том же смысле, в каком типична трансверсальность. Мы надеемся углубить и заострить эту интуицию, приведя во второй половине нашей книги много разнообразных физических примеров.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление