Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Геометрия катастроф

Следствие 6.2 выражает устойчивость морсовских функций в особенно сильной форме. Не только возможно любое малое возмущение функции с морсовской особенностью в „свести на нет“ вблизи путем перепараметризации и добавления константы, восстановив исходный вид функции, — это можно сделать равномерно для гладкого семейства возмущений где есть Данная функция (При малых с функции представляют собой малые возмущения в силу непрерывности и гладкости как бы там ни понималась „малость".)

Итак, если для машины Зимана (§ 1 гл. 5) выбрать положение управляющих параметров , для которого упругая энергия, выраженная как функция от 0, имеет лишь морсовские критические точки, то эта точка обладает такой окрестностью, что изменение управления в ее пределах не оказывает — топологически — никакого эффекта. Критические точки сдвигаются как гладкие функции от управления (это та часть приведенного выше доказательства, где действует теорема о неявной функции) и с точностью до перепараметризации и добавления константы, зависящей от точки управления, ничего не изменяется. Вблизи таких точек, и только там, многообразие катастрофы можно представлять себе локально как график „многозначной функции" с несколькими листами (см. примеры гл. 5).

Мы видим, что пока критические точки остаются морсовскими, бифуркаций не происходит: локально система не изменяется. (В то же время нелокальные характеристики системы могут меняться, например, то, какой из минимумов самый глубокий; см. § 12 гл. 11.) Набор критических точек может измениться только за счет того, что одна из них или

несколько становятся неморсовскими. Вот почему мы концентрируем в следующей главе наше внимание на типах вырожденных особенностей, встречающихся типичным образом, и способах „перехода" через такие особенности. Они „организуют" превращения одних видов невырожденных функций в другие; приблизительно так же, как это делает катастрофа сборки Уитни, проанализированная в § 2 предыдущей главы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление