Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4 Лемма Морса и лемма расщепления для семейств

Как лемма Морса, так и лемма расщепления переносятся в сильной форме на случай семейств. В действительности это обобщение может быть выведено из леммы расщепления, если параметризующие семейство переменные рассматривать общих основаниях" с прочими переменными; для них начальное рассуждение с „выпрямлением" (теорема 4.5) не является необходимым, так что в некотором отношении доказательство более общей теоремы проще. Мы дадим здесь формальное доказательство самой сильной теоремы этого рода, не слишком разукрашивая его и имея своей главной целью продемонстрировать тот факт, что даже такие более сильные результаты в своей основе элементарны и не требуют привлечения глубоких результатов теории катастроф.

ТЕОРЕМА 6.1 (лемма расщепления для семейств). Пусть гладко. Будем обозначать точки произведения через Допустим, что коранг матрицы Гессе

в точке равен . Тогда эквивалентно семейству вида

Доказательство. Выберем в матрице Н невырожденную подматрицу размера и перенумеруем координаты, чтобы это была подматрица

Далее, рассмотрим отображение

Согласно предположению, оно имеет на максимальный ранг . Значит, по теореме о неявной

функции локально (в некоторой окрестности начала в определена функция

удовлетворяющая условиям

Если положить

то по непрерывности матрица

невырожденна для всех с Введем отображение

Это, очевидно, диффеоморфизм, который переводит каждое множество вида в себя. Положим Тогда вблизи начала имеем

Теперь мы можем продолжать, как при доказательстве леммы Морса в гл. 4, с той оговоркой, что функции имеют в качестве параметров. При этом для данных значений параметров мы заменяем лишь переменные Критическое значение каждой функции не изменяется, и этим определяется искомая функция

СЛЕДСТВНЕ 6.2 (лемма Морса для семейств). Пусть гладко. Предположим, что матрица Гессе

невырожденна в точке Тогда эквивалентно семейству вида

Доказательство. В теореме 6.1 полагаем

Заметим, что параметр больше не фигурирует в нашем выражении: функция морсовская, фиксированного типа, и не зависит от с. Параметр с „отключен“.

Для семейства функций, представленного в виде, указанном в теореме 6.1, мы называем переменные существенными, а переменные — несущественными. Это название отражает тот факт, что во многих вопросах мы можем пренебречь влиянием

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление