Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3 Физическая интерпретация структурной устойчивости

В науке общепринято требование повторяемости эксперимента: один и тот же эксперимент должен, в идеале, давать один и тот же результат при тех же самых условиях. Мы сказали „в идеале", так как никогда невозможно обеспечить точную повторяемость: внешние факторы вторгаются даже в самым тщательным образом организованные эксперименты. Например, чтобы обеспечить в точности то же самое гравитационное поле, нужно, в принципе, сохранить положение каждой частицы материи во Вселенной. Поэтому с более практической точки зрения повторяемость означает, что достаточно малые изменения условий эксперимента не должны существенно сказываться на результате. Отсюда вытекает, что и математическое описание физического явления должно обладать того же рода нечувствительностью к возмущениям.

Математическая формулировка этого требования зависит, следовательно, от двух вещей:

(a) какого рода возмущения мы допускаем;

(b) к чему мы готовы быть нечувствительны.

В литературе внутри данной области науки разным вещам стараются давать разные названия, но часто случается, что одно и то же название встречается в различных областях, имея в каждой из них свое значение. И, пожалуй, нет более распространенного названия, чем структурная устойчивость. Это понятие было впервые введено в контексте дифференциальных уравнений русскими математиками А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным в 1937 г. (под названием „грубых систем"); оно привело к общему понятию структурно устойчивых динамических систем, где по пункту (а) мы допускаем малые возмущения рассматриваемых дифференциальных уравнений, а в (Ь) требуем топологической эквивалентности соответствующих множеств кривых, изображающих решения. Что же касается теории катастроф, то здесь (а) допускаются малые гладкие возмущения соответствующего семейства функций и (Ь) требуется более

сильная „диффеоморфная“ эквивалентность, которая была определена выше.

Итак, имеется много различных понятий структурной устойчивости. Будет ли в данном конкретном приложении понятие, наиболее удобное математически, наилучшим образом отвечать требованию физической повторяемости, зависит от ситуации, и этот вопрос должен быть изучен отдельно в каждом отдельном случае. Общее требование состоит в том, что всё устойчивое настолько, чтобы быть повторно наблюдаемым, должно быть структурно устойчивым, а уж в каком смысле понимать структурную устойчивость, зависит от требующего.

Слегка идеализированный физический пример поможет нам пояснить это. Маятник без трения, подвешенный в вакууме, совершает идеально регулярные колебания. Возмутим их, сообщив маятнику несколько больший начальный толчок, и он будет продолжать регулярно колебаться почти с тем же периодом. В этом смысле наша система структурно устойчива. Возмутим систему иначе, впустив в вакуумный колпак немного воздуха, и колебания станут постепенно затухать. В этом смысле она структурно неустойчива. Но если мы теперь ограничимся рассмотрением лишь экспериментов, длящихся не более пятидесяти колебаний, то мы не сможем заметить существенных изменений, и система опять структурно устойчива. Наконец, вернемся к случаю маятника в вакууме и чуть большего начального толчка, но будем сравнивать возмущенный и невозмущенный маятники в течение целого года (или, если нужно, еще дольше); тогда мы заметим качественные отличия, такие, как смена фазы. Опять неустойчивость!

Никакая механическая колебательная система не обладает устойчиво свойством согласованности с цезиевыми часами.

Таким образом, понятие устойчивости зависит как от возмущений, которые мы допускаем, так и от типа эквивалентности, который мы требуем. Чем шире класс возмущений, тем грубее, по идее, должно быть подходящее понятие эквивалентности. Наиболее сильные результаты об устойчивости, и наиболее интересные, — это когда класс возмущений оказывается шире (или эквивалентность тоньше), чем это можно было ожидать с самого начала.

С учетом всего сказанного „естественным" понятием устойчивости для теории катастроф представляется (во всяком случае для наших теперешних целей) как раз понятие, введенное выше, при котором сохраняется большинство примечательных черт геометрии катастроф и их динамики.

Позволительно интерпретировать его как физическую повторяемость этих черт, при наличии возмущений лишь соответствующего типа. В дальнейшем, когда мы будем ссылаться на физическую устойчивость или утверждать ее существование, мы всякий раз будем обсуждать ее связь с математикой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление