Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2 Структурная устойчивость семейств

Понятие структурной устойчивости распространяется теперь на случай семейств естественным образом. Если эквивалентно в указанном выше смысле любому семейству где — достаточно малое семейство то называется структурно устойчивым.

Обычно бывает трудно доказать, что данное -параметрическое семейство, структурно устойчиво в этом смысле. Здесь применимы методы гл. 8, но они основываются на весьма глубоких теоремах. Ниже мы проиллюстрируем введенное понятие на примерах.

В некотором отношении более поучительно рассмотреть пример неустойчивости, так как всегда легче увидеть неполадки, а затем можно сказать, что „устойчивость — это когда такое не случается.

Если бы, скажем, мы провели исследование машины Зимана лишь для управляющих точек на оси то мы пришли бы к семейству функций

Критические точки находятся здесь из уравнения

они лежат на прямой и параболе как это показано на рис. 6.3(a). Эта диаграмма часто встречается в книгах по теории бифуркаций. Для многих целей это описание может оказаться вполне адекватным. Однако оно не является структурно устойчивым и не позволяет охватить все моменты поведения машины. Например, на рис. 6.3(a) при использовании принципа промедления мы не получим никаких катастрофических скачков.

Действительно, возмутим семейство функций (6.1) малым членом что дает

Теперь критические точки находятся из уравнения

и соответствующий график (для малых ненулевых ) выглядит примерно так, как показано на рис. 6.3 (b). Топология этого графика совсем другая. Например, он несвязен и не имеет точек самопересечения причем это верно для сколь, угодно малых е.

Имеет всё это значение или нет, зависит, конечно, от точной постановки вопроса, на который ищется ответ. Рис. 6.3 (Ь) служит хорошим приближением к рисунку 6.3(a) в других, нетопологических смыслах; например, оба они очень похожи на рис. 6.3(c), который может принадлежать как раз к тому типу, который желают получить в эксперименте! Дело, однако, в том, что мы не можем пренебречь структурной неустойчивостью с самого начала; прежде чем убедиться в ее безвредности, нужно проанализировать ее влияние на интересующие нас свойства. От структурной неустойчивости функции которая обсуждалась в § 4 гл. 4, нельзя избавиться при помощи диаграммы вроде той, что показана на рис. 6.3(c).

С другой стороны, полное семейство катастрофы сборки Уитни

является структурно устойчивым. Это утверждение обосновывается в гл. 8; однако в его правдоподобии можно убедиться при помощи следующего очень грубого рассуждения. Возмущения порядка выше четвертого не должны оказывать никакого качественного влияния по соображениям, связанным с теоремой 4.4. Члены четвертого порядка, квадратичные и линейные и так учитываются; кубические члены можно устранить подходящей заменой координат, как это делалось при анализе машины Зимана (§ 1 гл. 5); наконец, постоянные не влияют на критические точки. Сделать это рассуждение чем-то большим, чем благое пожелание, вероятно, невозможно, так как оно не учитывает всех имеющихся здесь трудностей; строгое доказательство совсем другое и лежит глубже.

Из структурной устойчивости катастрофы сборки следует, в частности, что малые погрешности при построении машины Зимана не должны заметно влиять на ее поведение. (Эксперимент показывает, что даже очень большие погрешности могут не приводить ни к чему плохому. Иногда „локальное" менее локально, чем это ожидают.)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление