Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3 Качалки

Сделайте фотокопию рис. 1.6 (масштаб снова не играет роли) и наклейте ее на тонкий картон (толщиной как почтовая открытка). Аккуратно обрежьте по краю нарисованную фигуру (лучше всего ножом или лезвием бритвы). Изготовьте другой такой же кусок картона и вырежьте из него середину, на расстоянии нескольких сантиметров от края. Приготовьте шесть одинаковых распорок треугольного сечения, длиной около четверти высоты нашего параболического сегмента (см. рис. 1.7). Приклейте их торцами к сплошному сегменту и к кольцу (рис. 1.8), поместив по одной распорке в углы и распределив остальные равномерно; края параболических сегментов должны лежать точно друг под другом. Небольшой, но достаточно сильный магнитик с одной стороны картонки и небольшой кусочек железа с другой стороны (см. рис. 1.8) будут удерживать друг друга на картонке, и эту пару легко перемещать в любое желаемое место.

Так как основная часть массы всей конструкции приходится на пару магнит — железка, мы можем принять за центр тяжести качалки положение этой пары. Если качалка находится в положении равновесия, то центр тяжести должен быть расположен точно по вертикали над точкой опоры.

В случае когда качалка покоится на горизонтальной плоскости, эта плоскость будет касательной к нашей параболе, так что центр тяжести должен лежать на соответствующей нормали (прямой, проходящей через точку касания перпендикулярно к касательной). Некоторые из этих нормалей как раз и изображены на рис. 1.6.

Эксперименты с качалкой или геометрические размышления на основе приведенного ее описания дадут вам ответы на следующие вопросы:

Рис. 1.7

Рис. 1.8

(a) При каких положениях магнита (если таковые вообще существуют) качалка имеет различных положений равновесия (где и для каждого вопрос ставится заново)?

(b) Куда бы ни поместить магнит на нормали, построенной в заданной точке Р, центр тяжести окажется над Р и качалка с опорой в точке Р будет находиться в равновесии. Однако при одних положениях магнита на этой нормали качалка после малых отклонений будет возвращаться в положение равновесия (т. е. равновесие устойчиво), а при других она будет падать, как яйцо, поставленное на острый конец (равновесие неустойчиво). В чем различие между этими двумя классами положений?

(c) Когда малое изменение в положении магнита приводит к новому положению равновесия, лишь слегка отличающемуся от первоначального, и когда оно приводит к тому, что качалка начинает катиться („катастрофическое изменение", которое безошибочно узнается в практическом эксперименте)?

Теперь изготовьте новую машину, заменив параболу эллипсом. Рис. 1.6 заменится при этом на рис. 1.9. Ответьте на те же три вопроса.

Описанные машины далеко не так искусственны, как это может показаться. Оказывается, что они хорошо моделируют широкий спектр явлений в поведении кораблей (см. гл. 10).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление