Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

Если рассматривать отдельные функции, то структурно устойчивы только морсовские критические точки, и только морсовские точки возникают типичным образом. Глава 5 показывает, однако, что в вопросах, связанных с семействами функций, может оказаться необходимым иметь дело с неустойчивыми, вырожденными критическими точками; в действительности именно в них могут отражаться наиболее интересные черты изучаемого явления.

Распространение понятия структурной устойчивости на случай семейств функций позволяет существенно пояснить всё. Структурно устойчивое семейство, как правило, включает в себя отдельные функции с вырожденными критическими точками, и, грубо говоря, чем больше семейство, тем сильнее может быть вырожденность. Окружающие члены семейства как бы сдерживают, успокаивают вырожденную функцию; это формализуется во введенном Томом понятии деформации которое мы изучим в гл. 8. В данной главе мы обсудим этот тип структурной устойчивости и установим его связь с предыдущими примерами; относящаяся сюда математическая теория будет развита в гл. 7 и 8.

1. Эквивалентность семейств

Напомним (см. § 3 гл. 4), что две функции называются эквивалентными вблизи начала, если существуют локальный диффеоморфизм у: и постоянный „сдвигающий член“ у, такие, что

в некоторой окрестности 0. Для семейств функций нам потребуется соответствующим образом

усложненное понятие эквивалентности. Диффеоморфизм у превращается в семейство диффеоморфизмов где которые гладко меняются с константа у превращается в „семейство констант, гладко меняющихся с иначе говоря, в гладкую функцию Наконец, мы допускаем также произвольный диффеоморфизм для него нет нетривиальной параллели в случае отдельной функции (единственный гомеоморфизм одноточечного множества - тождественный!), но в случае семейств он нужен. Без него мы не смогли говорить, например, об эквивалентности поведения двух машин Зимана, из которых одна имеет вдвое большие размеры, чем другая. Здесь соответствующий диффеоморфизм просто удваивает масштаб.

Итак, для аккуратной формулировки определения нам нужны:

(a) диффеоморфизм

(b) гладкое отображение

такое, что при всяком отображение

является диффеоморфизмом;

Рис. 6.1 (см. скан)

(с) гладкое отображение

Теперь мы назовем семейства и эквивалентными, если найдутся такие , определенные в некоторой окрестности нуля, что

для всех из этой окрестности.

Введенное отношение эквивалентности важно для понимания теоремы Тома и играет важную роль еще в целом ряде случаев. Его геометрический смысл иллюстрируется рис. 6.1 и 6.2. Например, на рис. 6.1, где схематически представлены прямыми, мы видим, что гладко растягивает и изгибает (хотелось бы сказать „диффеоморфирует" , но требования чистоты языка запрещают нам это). Для всякого фиксированного множество точек представленное вертикальной прямой, расположенной над деформируется, как того требует и переводится в вертикаль, расположенную над Таким образом, разложение на вертикали сохраняется, хотя каждая из них может достаточно сложно деформироваться и передвигаться вдоль Наконец, на каждой вертикальной прямой может быть перенесено начало, согласно у.

„Линии уровня" на рис. 6.1 нанесены, чтобы проиллюстрировать действие всего этого на произведение

Рис. 6.2 (см. скан)

Рис. 6,3

оно гладко деформируется так, что сохраняются топологические черты проекции Поэтому линия уровня, которая «многозначна» над такой и останется, причем вся качественная картина сохранится. На рис. 6.2 представлен случай на этот раз только для одной поверхности уровня, которая изображена в виде тора, чтобы подчеркнуть сохранение топологических свойств.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление