Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4 Качалки

Начнем с анализа параболической качалки. Параметризуем параболу с помощью параметра (см. рис. 5.14), так что общей точкой параболы служит Коэффициент наклона касательной в этой точке равен 21, и, значит, коэффициент наклона нормали равен ее уравнением будет

Перепишем его так:

где

Это уравнение имеет тот же самый вид, что и уравнение (5.2); здесь играет роль переменной состояния, а X и Y — параметров управления. Следовательно, поверхность, определяемая уравнением (5.8) в пространстве та же самая, что и многообразие катастрофы для канонической сборки Уитни.

Рассмотрим эволюту параболы — огибающую ее нормалей; как говорят нам учебники, чтобы получить эту огибающую, надо продифференцировать левую часть (5.8) по и затем исключить Дифференцирование дает

а исключение

Рис. 5.14

Рис. 5.15

Не только ответ хорошо нам знаком — всё проведенное вычисление также знакомо: мы проводили его в предыдущем параграфе, когда искали бифуркационное множество. Это совпадение можно объяснить следующим образом. Для фиксированного уравнение (5.8) определяет прямую в пространстве Объединение этих прямых для всех есть линейчатая поверхность, и в то же время это обычная поверхность сборки Уитни. Соответствующее отображение катастрофы проектирует поверхность, а значит и прямые, на плоскость это эквивалентно тому, чтобы представлять себе (5.8) как семейство прямых в плоскости получающееся при изменении Огибающая этого семейства является образом особенностей проекции см. рис. 5.15. (Заметим кстати, что связь с огибающими послужила для Тома одной из отправных точек при создании теории катастроф.)

Теперь введем в игру силу тяжести. Пусть парабола имеет центр тяжести в точке (X, У) и в положении, когда она стоит, не качаясь, точкой опоры служит Тогда потенциальная энергия задается формулой

Таким образом,

где К зависит лишь от X и Y, но не от

Функция имеет критические точки в точности там же, где и Действительно, высота центра тяжести над полом должна быть положительной, а в области положительных чисел возведение в квадрат является диффеоморфизмом и, значит, сохраняет критические точки. Далее, при дифференцировании К исчезает, и поэтому этот член не играет роли при анализе критических точек. Такой член К мы называем сдвигающим членом, поскольку геометрически его действие сводится к тому, что критические значения лишь сдвигаются вверх или вниз, а форма поверхности равновесия при этом не изменяется. Роль сдвигающего члена в § 3 гл. 4 была той же самой.

Итак, мы имеем то же семейство функций, что и в § 2, и

анализ критических точек будет в точности такой же; следовательно, тождественны не только локальная геометрия машины Зимана — стандартная сборка — и геометрия параболической машины, но также и семейства функций, которые определяют эту геометрию в терминах критических точек. Вследствие этого динамика поведения будет снова определяться сборкой Уитни, как и для машины Зимана, и будут наблюдаться те же самые явления. Что касается, однако, глобального поведения параболической машины, то здесь отсутствуют три дополнительные сборки, которые имеются у машины Зимана.

Сходное вычисление можно проделать и для эллиптической качалки, только тут эволюта имеет четыре острия, как на рис. 1.9. Поверхность равновесия теперь в точности эквивалентна поверхности для машины Зимана, и анализ динамики идет в точности по той же схеме. В частности, ответы на три заданные в § 3 гл. 1 вопроса таковы:

(a) Вне области О имеются два возможных положения равновесия (одно устойчивое, другое неустойчивое), а внутри их четыре (по два того и другого типа).

(b) Если центр тяжести ниже центра кривизны в точке контакта (центр кривизны, как хорошо известно, совпадает с точкой, в которой нормаль касается эволюты), то равновесие устойчиво, если выше, то неустойчиво. (Чтобы увидеть это, приблизьте локально кривую ее кругом кривизны; можно убедиться в этом и аналитически.)

(c) Катастрофические скачки происходят при пересечении границы области но лишь когда при этом мы проходим через кривые складок на поверхности (в соответствии с принципом промедления).

На самом деле есть теорема, согласно которой любая гладкая выпуклая замкнутая кривая имеет по крайней мере два максимума и по крайней мере два минимума кривизны, гак что для соответствующей качалки (с заменой эллипса на эту кривую) отображение катастрофы имеет по крайней мере четыре критические точки. В типичном случае они проявляются как четыре острия в бифуркационном множестве (два обычных, два „двойственных”), но при определенных обстоятельствах могут иметь место и наложения. Так, например, гладкая инволюта гипоциклоиды с тремя остриями имеет саму эту гипоциклоиду в качестве соответствующего бифуркационного множества, которое, таким образом, имеет только три острия; однако каждый из них отвечает паре критических точек отображения катастрофы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление