Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2 Каноническая катастрофа сборки

Мы посвятим весь этот параграф анализу структуры критических точек функции . К машине Зимана мы вернемся после того, как это будет проделано.

Для заданной пары критические точки функции (5.1) определяются из условия

(Дроби в коэффициентах подбирались как раз так, чтобы получилось уравнение простейшего вида.)

Это уравнение кубическое по х, и поэтому оно имеет самсе большее три и самое меньшее один вещественный корень. Природа корней зависит от значений а именно от дискриминанта

рассматриваемого кубического уравнения. Хорошо известно (см., например, Сэлмон [19], стр. 183, что если имеются три различных вещественных корня, а если

Рис. 5.3

то один вещественный и пара взаимно сопряженных комплексных корней. Если то в некотором смысле имеются три вещественных корня, но некоторые из них совпадают между собой: если но или то совпадают два корня, а если то совпадают все три корня.

Геометрически это означает, что природа корней, а значит и равновесие машины, зависит от положения свободного конца резинки по отношению к кривой, определяемой в координатах уравнением

Она изображена жирной линией на рис. 5.3.

Подразделим плоскость обозначим ее через С) на пять подмножеств: заштрихованную область „внутри" кривой, область Е „вне“ нее, две ветви и кривой и начало Р. Точки лежащие в характеризуются условием а точки, лежащие в Е, условием Поэтому:

если лежит в Е, то имеется один вещественный корень;

если лежит в I, то имеются три различных вещественных корня;

если лежит в В или в то имеются три вещественных корня, но два из них совпадают между собой; для совпадение происходит с наименьшим корнем, а для — с наибольшим;

если совпадает с то имеются три совпадающих вещественных корня (все они равны 0).

Все эти возможности проиллюстрированы на рис. 5.4. Вид соответствующих потенциальных функций

показан на рис. 5.5.

Мы видим, что имеет один минимум, если , два минимума и между ними максимум, если один минимум и одну точку перегиба для или и один минимум для Заметим, что в этом последнем случае потенциальная функция есть и потому этот минимум более сложный с математической точки зрения, чем предыдущие: здесь равны нулю первые три производные функции тогда как во всех остальных случаях

Рис. 5.4

Рис. 5.5

равна нулю только первая производная. Это отвечает трем совпадающим корням кубики для Отметим также, в чем состоит различие между потенциальными функциями точек лежащих на ветвях для точка перегиба лежит слева от минимума, а для — справа.

С точки зрения динамики минимумы V отвечают устойчивым равновесиям, а максимумы или перегибы — неустойчивым. Итак, если наша пара управляющих параметров лежит в Е, то имеется единственное положение устойчивого равновесия, а если в то имеются два устойчивых положения и одно неустойчивое.

Это довольно сложное поведение потенциальной функции можно охватить единой геометрической картинкой, делающей всё чрезвычайно наглядным, нарисовав многообразие катастрофы, или поверхность равновесия, в пространстве Это — множество точек удовлетворяющих уравнению (5.2), которое мы здесь перепишем так:

Оно имеет вид поверхности со сборкой и показано на рис. 5.6. (Как может заметить читатель, мы уже рисовали эту поверхность (в несколько иных координатах) в § 7 гл. 2, и поэтому нет необходимости повторять здесь все объяснения.)

Отметим, что окрестность большинства точек поверхности локально является графиком некоторой функции от

Рис. 5.6

как оно и должно быть, согласно проведенному в § 1 обсуждению того, как меняется морсовская критическая точка при изменении . В физической литературе часто делаются попытки распространить эту точку зрения и на те места, где она явно неприменима, привлекая „ветвящиеся функции". Однако этого нельзя проделать никаким последовательным способом в окрестности точки Р, которая в большинстве физических приложений и служит средоточием интереса. Обычный получаемый результат — хаос в понятиях. Гораздо более ясная картина возникает из рассмотрения вполне корректно определенного отображения катастрофы

которое проецирует точки М на плоскость по правилу

в окрестности начала.

Многообразие катастрофы М является гладким подмногообразием в Иногда думают, что М не гладко в начале, но это обман зрения. Гладкость становится очевидной, если изготовить трехмерную модель поверхности. Математически это можно усмотреть с помощью карты для М, определяемой „проекцией" из плоскости Y координат х и а. Она представляет собой функцию

для которой

где определяется из условия

Исключая получаем

Эта карта не только дает локальные координаты вблизи начала, она дает на самом деле координаты на всем М, и одной карты в этом случае хватает для всего многообразия катастрофы. Матрица Якоби для имеет вид

т. е.

и, очевидно, имеет ранг 2 независимо от того, какие значения принимают а их. Итак, (5.5) не имеет критических точек, и М гладко.

Интуитивно отвечает взгляду на М по горизонтали сбоку; если посмотреть таким образом на реальную модель поверхности, то ясно будет видно, что с этой стороны складка „исчезает". Это отчетливо показывает серия чертежей, выполненных вычислительной машиной (рис. 5.7), которые мы заимствовали у Вудкока и Постона [20].

Точки в которых поверхность „подворачивается", „складывается" и в которых, следовательно, касательная плоскость вертикальна, - это в точности критические точки отображения катастрофы Легче всего их найти, решая совместно уравнения (5.4) и

Отсюда , подставляя это в (5.4), получаем Таким образом, точки М, в которых касательная плоскость вертикальна, лежат на кривой, задаваемой параметрически как

Рис. 5.7

где вещественный параметр. Это скрученная кубическая кривая, лежащая на М, которую мы назовем кривой складок и обозначим через Чтобы убедиться, что — гладкая кривая, рассмотрим указанную параметризацию

Матрица Якоби здесь равна

и она всегда имеет ранг 1. Поэтому является (очевидно, гладкой) функцией без критических точек, и — гладкая кривая.

Наконец, посмотрим на образ кривой при отображении Это кривая в С с параметрическим заданием

Решая совместно уравнения

мы получим уравнение

Это полукубическая парабола, и это в точности та самая кривая, которая встретилась нам раньше при описании положений равновесия. Мы называем ее бифуркационным множеством (поскольку, когда мы сдвигаем с нее точку появляются функции двух различных типов и обозначаем через В.

Теперь мы в состоянии дать геометрическую интерпретацию положений равновесия соответствующей динамической системы. Для данной пары значений параметров все положения равновесия получаются решением уравнения (5.2). Они могут быть, следовательно, описаны как -координаты тех точек, в которых вертикальная прямая, проходящая через пересекает многообразие катастрофы М. Геометрически очевидно, что если лежит в области Е, внешней по отношению к бифуркационному множеству В, то найдется лишь одно такое действительно, над точками Е лежит лишь один „лист“ поверхности М. В то же время над точками области расположены три

листа и соответственно имеется три положения равновесия. Для точки вертикальная прямая, проходящая через касательна к нижнему листу и проходит через верхний лист в единственной точке; это дает для уравнения (5.2) два совпадающих корня и еще один, причем совпадающие корни меньше. Для всё аналогично, только теперь имеет место касание верхнего листа и совпадающие корни больше. Наконец, в точке острия Р вертикальная прямая касается поверхности М и пересекает ее в одной-единственной точке — в начале.

Итак, при геометрическом описании состояний равновесия почти всё становится совершенно очевидным. Чтобы закончить картину, необходимо только различить устойчивые и неустойчивые положения равновесия; неустойчивые отвечают точкам поверхности М, лежащим на среднем листе, „внутри" кривой складок, устойчивые — точкам „снаружи" кривой складок.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление