Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. СНОВА МАШИНЫ

В данной главе мы проанализируем работу описанных в гл. 1 машин для демонстрации катастроф и покажем, какая здесь имеется связь с теорией критических точек и с поведением вырожденных критических точек при возмущении. Это мотивирует постановку общей математической проблемы, решением которой можно считать теорему Тома и лежащий в ее основе комплекс математических методов. Тем самым изучаемые здесь простые механические системы становятся модельными примерами для общей теории, которые помогают установить связь между теорией и практикой и отточить физическую интуицию.

1 Машина Зимана

Мы дадим анализ зимановой машины для тех конкретных размеров, которые были указаны в гл. 1. Из дальнейшего должно стать ясным, что изменение размеров не внесет серьезных качественных отличий в поведение, — факт, в котором в зародыше содержится важная идея, развиваемая нами в полной мере позднее.

Первый шаг состоит в том, чтобы определить положение точки острия Р. В силу соображений симметрии эта точка лежит на оси (см. рис. 5.1). Возьмем в качестве единицы длины диаметр диска, так что длины нерастянутых резинок равны 1, а расстояние равно 2.

Снова по симметрии ясно, что когда точка В перемещается вдоль оси, всегда имеется положение равновесия, отвечающее Точка Р, согласно общим принципам статики, находится там, где это равновесие меняется с устойчивого (локальный минимум энергии) на неустойчивое (локальный максимум). Пусть обозначают длины наших двух резинок в положении, когда диск повернут на угол близкий к 0, но необязательно равный 0. По закону Гука энергия системы равна

Рис. 5.1

где А, — модуль упругости резинок. Далее,

и, беря разложение в ряд Тейлора, мы найдем, что

где О(4) обозначает функцию порядка 4. Упрощая, получаем

(мы включили члены с Следовательно,

Аналогично

и, значит,

В силу леммы Морса, при определении локального типа критической точки мы можем пренебречь членом О (4), если коэффициент при отличен от нуля. Но коэффициент при в нашем случае

Таким образом, изменение от минимума энергии к максимуму наблюдается там, где

или

Решения этого уравнения таковы:

Рис. 5.2

ясно, что Р отвечает положительному значению , т. е.

Аналогичное рассуждение с заменой на позволяет определить положение верхнего клюва Р, для которого получаем (см. Постон и Вудкок [3]). Можно определить и положение двух боковых клювов, но анализ в этом случае сложнее.

Отметим роль, которую играет устойчивость морсовских функций в обеспечении того, что большую часть времени колесо не прыгает. Пусть — функция энергии, отвечающая положению свободного конца в точке Если она имеет в 0 морсовский минимум, то для точек достаточно близких к функция имеет морсовский минимум вблизи от 0.

Фактически в соответствующей окрестности 0 можно представить как гладкую функцию от с помощью того же приема, которым морсовские функции приводятся к стандартному виду. Таким образом, вблизи точки равновесия колесо движется плавно с изменением Однако по мере того как мы приближаемся к какой-нибудь неморсовской точке, это „вблизи" становится все более ограничительным условием. Именно геометрия в окрестности таких точек, где нарушается морсовское свойство, а с ним и плавное движение колеса, будет нас больше всего интересовать.

Ниже мы проводим детальный анализ поведения колеса вблизи точки Р. Как мы уже видели, член с в энергии исчезает в силу симметрии член с также отсутствует, так что мы должны обратиться к члену с Далее мы работаем с рис. 5.2. Пусть свободный конец В находится в точке относительно указанной на рисунке системы координат (оси взяты с направлениями, противоположными обычным, из соображений алгебраического удобства). Формула для получается та же, что и раньше, только теперь мы работаем с точностью до О (5) и сохраняем члены с а для имеем формулу

Беря разложение соответствующей функции энергии с точностью до членов пятого порядка, получаем выражение вида

Здесь некоторые константы, точное значение которых не имеет большого значения; приблизительно они равны

(эти значения даны Э. К. Зиманом, которому принадлежит и весь этот анализ).

Заметим теперь, что в точке Р, где мы имеем функцию вида

и, значит, вырожденную критическую точку, эквивалентную по теореме 4.4 критической точке типа Таким образом, при получении качественных результатов для точки Р мы можем пренебречь членом Более глубокие теоремы, обсуждаемые, но не доказываемые в гл. 8, показывают, что то же верно и вблизи Р. Итак, мы можем упростить выражение для функции энергии, отбросив член Дальнейшие упрощения достигаются: таким выбором единиц для физических величин, чтобы устранением кубического члена при помощи замены

введением вместо их подходящих скалярных кратных соответственно (численно они оказываются равными примерно 1.8а и 1.30). Это приводит к следующему выражению для энергии:

с некоторой постоянной с. Так как нас интересуют только критические точки V, мы можем без потери общности взять (или перенести начало отсчета значений энергии). В результате приходим к выражению вида

Этой формулой определяется то, что позже мы назовем катастрофой сборки.

Наш следующий шаг, на котором фактически и будет получена полезная информация, состоит в анализе критических точек V. Прежде чем проводить этот анализ (являющийся

вполне стандартным), стоит указать, в каком именно отношении проделанная выше работа отличается от подхода „классической прикладной математики". Отличие состоит в том, что пренебрежение членами высокого порядка: при нахождении положения точки Р и при выводе формулы (5.1) — строго обосновано привлечением леммы Морса и глубокой математики, стоящей за теоремой Тома (хотя мы и не доказывали этого). Классический прикладной математик решительно расправляется с такими приближениями, имея „хороший нюх" на то, что работает, а что не работает; хороший прикладной математик не отсек бы ошибочно в V, что привело бы к абсурду, но он не смог бы и объяснить разумным образом, почему переход к уже не меняет дела. В то же время теория катастроф вооружена для всего этого строгими приемами, которые годятся и тогда, когда число переменных слишком велико, чтобы можно было полагаться на „опыт". Это очень важный момент, который начисто упускается из виду в большинстве популяризаторских изложений предмета.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление