Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11 Коразмерность

Теорема о неявной функции (гл. 3, § 9) показывает, что если функция такова, что и в точке прообраз служит графиком некоторой функции (эквивалентно, имеет ранг то вблизи мы можем представить множество

как график некоторой гладкой функции . В частности, может быть гладко параметризовано вблизи х при помощи , значит, является гладким подмногообразием. Обратно, любое такое подмногообразие М может быть локально записано как для подходящей гладкой функции имеющей максимальный ранг в точках М. (Сделать это сразу во всех точках М, вообще говоря, нельзя. Какого рода трудности тут возникают, можно увидеть, пытаясь выяснить, с какой стороны листа Мёбиуса, содержащегося в М, функция для которой должна быть положительной! Однако поблизости любой точки это всегда возможно.)

Итак, имеется (локальная) эквивалентность между -мерными подмногообразиями в , в традиционной терминологии, „множествами, определяемыми m уравнениями". Именно в такой постановке физики чаще всего и говорят о типичности трансверсальности. Если М определено уравнениями, а М определено уравнениями, где то объединенная система из уравнений переопределена и в типичном случае не имеет решений. В случае когда она имеет решения, они неустойчивы, если только какие-нибудь специальные условия не гарантируют сохранения их существования, и подробное исследование таких специальных условий составляет существенную часть адекватной теории.

Как раз сюда относится отмеченное нами ранее наблюдение, что если то в типичном случае М и М нигде в не пересекаются. Например, каждая кривая в локально „определяется двумя уравнениями". Пересечение двух таких кривых должно удовлетворять четырем уравнениям и в типичном случае не существует.

Это заставляет нас обратить особое внимание на число — число уравнений в переменных которое необходимо, чтобы описать локально М как подмножество в отличие от числа , которое требуется для параметризации М). Это число называется коразмерностью М в и оно в точности равно коразмерности в (как она была определена в § 2 гл. 2) всякого касательного векторного пространства к М. Оно часто оказывается полезным независимо от размерности.

Например, пусть X — остров Великобритания (без прибрежных островов). В представлении на географической карте X двумерен, а граница между Англией и Шотландией одномерна, т. е. имеет коразмерность единица. Но в действительности эта граница не одномерна. Вы несомненно пересекаете ее также и тогда, когда летите самолетом (в пределах X) из Лондона в Глазго, хотя и милей выше, чем когда пересекаете ее пешком. Если добавить к тем измерениям, которые имеет карта, вертикальное измерение, то „Англия станет трехмерной областью, простирающейся от центра Земли до „края небес“ (в зависимости от действующих международных законов), и то же относится к Шотландии. Граница становится двумерной, но ее коразмерность остается равной 1. Если мы добавим к нашей картине время, то страны станут четырехмерными, граница трехмерной, но ее коразмерность снова будет 1.

Итак, коразмерность границы определена лучше, чем ее размерность, и именно коразмерность определяет многие из ее свойств. Например, типичная точка в Великобритании расположена либо в Англии Уэльс, либо в Шотландии (вне зависимости от высоты над горизонтом или даты); типичная кривая пересекает границу в изолированных точках (если вообще ее пересекает), вне зависимости от того, имеем ли мы в виду двумерную карту, трехмерное пространство или четырехмерное пространство-время. Бывает полезно знать, что коразмерность чего-то равна, скажем, с („полезно" в том смысле, что мы можем делать из этого соответствующие выводы), даже в случае, когда для определения самой размерности имеющейся информации недостаточно.

В некоторых приложениях размерности оказываются бесконечными. Коразмерность тогда все еще можно рассматривать как «число определяющих уравнений», хотя уже нельзя как разность размерностей, которые теперь обе бесконечны. Покуда коразмерность остается конечной, все ее полезные свойства сохраняются.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление