Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10 Понятие трансверсальности для отображений

В гл. 7 нам потребуется чуть более сложное понятие трансверсальности: трансверсальность отображения к многообразию. Если С — параметризованная кривая в плоскости, С: то мы можем рассматривать параметр как время, а кривую — как движущуюся точку. Тогда трансверсальность этой подвижной точки к данной фиксированной (непараметризованной) кривой С означает следующее. Во всех случаях, когда лежит на С, вектор скорости нашей подвижной точки в момент должен быть линейно-независимым с касательным вектором к С в Другими словами, не только траектория точки должна быть трансверсальна к С в обычном смысле, но и скорость, с которой точка проходит через С, должна быть ненулевой.

Причина, по которой мы вводим определение таким образом, — желание удержать полезное свойство структурной устойчивости. Так, если С есть ось — точка то образ С — это в точности ось х, трансверсальная к оси у. Но, возмутив немного С, а именно заменив на с положительным мы получим траекторию, пересекающую С три раза вместо одного — очевидное качественное отличие. Это могло случиться только потому, что скорость с которой точка пересекает С, равна нулю.

Условие трансверсальности функции к данному многообразию определяется аналогично. Вектор скорости заменяется пространством, порождаемым всевозможными векторами скорости в точке которые получаются при движении по кривым проходящим через и это пространство должно быть трансверсально к касательной гиперплоскости к рассматриваемому многообразию в Эквивалентным образом, соответствующие графики должны быть трансверсальными как подмногообразия в (более точную формулировку можно найти у Голубицкого и Гийемина [18]). Этот тип трансверсальности по-прежнему устойчив и типичен, и формула для размерности по-прежнему остается справедливой, с соответствующими оговорками в случае Если функция трансверсальна к подмногообразию С в и пересечение X этого подмногообразия с образом непусто и не содержит критических значений то X имеет размерность

где — размерность С.

В терминологии, которую мы введем в следующем параграфе, трансверсальность означает, что коразмерность X в образе следовательно, и коразмерность равна коразмерности С в

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление