Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9 Трансверсальность и устойчивость

Из рассмотрения наших картинок интуитивно ясно, что, немного „пошевелив" трансверсальное пересечение, мы снова получим трансверсальное пересечение, и это совсем нетрудно доказать алгебраически. После выбора координат в подмногообразиях условие трансверсальности (направления в одном многообразии плюс направления в другом дают все направления в можно выразить как требование, чтобы не все определители из некоторого заданного списка

Рис. 4.19

обращались в нуль. Эти определители непрерывно зависят от положения многообразий, и если они отличны от нуля при каком-то их положении, то они отличны от нуля и для всех соседних положений. Следовательно, в этих положениях также будет иметь место трансверсальное пересечение. Таким образом, трансверсальность — устойчивое свойство, сохраняющееся при малых возмущениях.

Мы не доказываем этого подробно, так как в действительности нам придется прибегать к более сильному результату — теореме Тома об изотопии, для которой мы не ввели нужной техники. Она утверждает не просто то, что трансверсальность является устойчивым свойством, но что сами трансверсальные пересечения устойчивы. Подходящими заменами координат в и в рассматриваемых подмногообразиях любой достаточно близкий „сосед“ данного трансверсального пересечения может быть приведен в точности к тому же самому виду. (На самом деле это можно сделать для целого семейства соседей одновременно, подобно тому как это было сделано для соседей морсовской функции в § 6.) Из известных нам доказательств этой теоремы наиболее привлекательно доказательство, данное у Абрахама и Роббина [17]: строгое доказательство, охватывающее и бесконечномерный случай сделано там, благодаря элегантным бескоординатным обозначениям, чрезвычайно геометричным.

Структурная устойчивость морсовских функций может быть получена как следствие теоремы Тома об изотопии, и такой вывод имеет некоторые преимущества по сравнению с более элементарными рассуждениями, которые мы использовали ранее. Действительно, условие невырожденности матрицы Гессе в точности совпадает с условием, чтобы матрица Якоби отображения

была невырожденной, каковое в свою очередь есть условие того, чтобы график пересекал трансверсально график нулевой функции. (Это совсем легко увидеть в случае так как здесь условие трансверсальности графиков и О принимает вид (рис. 4.19), что и есть условие Морса.)

Итак, устойчивость морсовских функций выводится из устойчивости трансверсальных пересечений. То же самое

Рис. 1.20

справедливо и в отношении их типичности. Мы видели ныше, что неморсовские функции не являются структурно устойчивыми. Теперь мы видим, что графики их производных (рис. 4.20) атипичны — они нетрансверсально пересекают нулевую прямую. Из полной формулировки теоремы Тома о трансверсальности, утверждающей, что типичны такие функции в которых график производной и графики высших производных пересекают некоторое многообразие трансверсально, мы можем вывести типичность функций Морса. Много других доказательств об устойчивости и о типичности проводятся таким же образом. Caveat lector. Мы использовали более тонкий факт, чем просто „типичная функция трансверсальна к нулю“, - мы допустили, что типичная функция имеет производную трансверсальную к нулю, другими словами, что трансверсальность типична среди функций-градиентов (по-другому — „точных дифференциалов"). Но градиент — это весьма специальный класс отображений при (например, отображение не является градиентом). Градиентные отображения на это в точности те, для которых некоторый дифференциал (ротор из „векторного анализа", для обращается всюду в нуль. Чтобы оценить деликатность проблемы, рассмотрим класс отображений которых первая производная по всюду равна нулю. Тут есть поверхностная аналогия с предыдущим, состоящая в том, что некоторый дифференциальный оператор тождественно равен нулю. Но в этом последнем классе трансверсальность не является типичной: посмотрите, каковы геометрические следствия „постоянства по х“, и вы сразу поймете, в чем тут дело.

Что является типичным, а что нет, зависит от того, какой класс рассматривается, и здесь одна из причин того, почему теорема Тома о трансверсальности, в которой утверждается интересующая нас типичность, ни в коем случае не является тривиальной или легкой.

Среди всех непрерывных кривых в некотором смысле абсолютно нетипичны кривые, которые хоть где-нибудь дифференцируемы — и однако эта книга целиком посвящена всюду дифференцируемым моделям мира. Типичность может иметь место лишь в пределах выбранного класса математических моделей, и выбор приходится делать, он не задан.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление