Рис. 4.13
Например, две плоскости в
трансверсальны, если они пересекаются по прямой (т. е. если они не совпадают между собой), поскольку
4-мерное и
-мерное подпространства в
трансверсальны, если они пересекаются по подпространству размерности
С другой стороны, два одномерных подпространства в
(две прямые) не могут быть трансверсальны.
Теперь перейдем к аффинным подпространствам — векторным подпространствам, отодвинутым от начала. Более точно, аффинное подпространство в К" — это подмножество вида
где а — фиксированный элемент из
подпространство (рис. 4.13). Под размерностью X понимается размерность V.
Особенностью новой ситуации является
аффинные пространства могут вовсе не пересекаться (как, скажем, скрещивающиеся прямые в
например, прямые
не могут пересечься, так как для точки
у, z) из их пересечения должны были бы одновременно выполняться равенства
см. рис. 4.14). На самом деле это даже типично для прямых в
— вовсе не пересекаться.
Пусть X и Y — аффинные подпространства в
размерностей
и
соответственно. Говорят, что они трансверсальны (или пересекаются трансверсально), если
либо
На рис. 4.15 показаны некоторые типичные пересечения в
и отмечено, какие из них трансверсальны.
Заметим, что трансверсальность зависит от размерности объемлющего пространства; например, пересечения
были бы трансверсальны в
Приступим, наконец, к многообразиям. Два подмногообразия в
пересекаются трансверсально в данной точке, если либо они вовсе не пересекаются в этой точке, либо их
Рис. 4.14
Рис. 4.15 (см. скан)
касательные (гипер)плоскости пересекаются трансверсально. В отличие от случая аффинных подпространств эти касательные гиперплоскости могут совпадать для многообразий, которые сами пересекаются лишь в одной-единственной точке. Например, кривые
-многообразия
не трансверсальны в начале (хоть оно и является единственной точкой пересечения), поскольку для обеих касательной служит ось х (рис. 4.16).
На рис. 4.17 представлены для многообразий случаи, показанные для плоскостей на рис. 4.15, с добавлением одного более тонкого случая
Хотя он и напоминает слегка случай (i), здесь нет трансверсальности, так как касательные плоскости совпадают.
О трансверсальных объектах часто говорят, что они находятся в общем положении (ибо „не происходит ничего особенного"). Трансверсальность типична в следующем
Рис. 4.16
Рис. 4.17 (см. скан)
смысле (который можно сделать точным): для двух многообразий, взятых наудачу, бесконечно мала вероятность того, что они пересекаются нетрансверсально (примерно так же, как бесконечно мала вероятность того, чтобы наудачу взятое вещественное число оказалось в точности равным
Точная форма этого утверждения о типичности была впервые открыта и доказана Томом; под названием теоремы Тома о трансверсальности она стала мощным техническим средством. Однако в интуитивной форме это утверждение уже давно появилось в качестве неявно делаемого допущения у многих физиков. Язык, который позволит нам выразить все это с большей ясностью, мы разовьем в § 11.
Вблизи точки трансверсального пересечения пара многообразий хорошо аппроксимируется парой касательных плоскостей. Отсюда вытекает, что локальная природа пересечения определяется исключительно размерностями многообразий: для пары пространств данных размерностей одно трансверсальное пересечение выглядит так же, как
Рис. 4.18
другое. Действительно, имеется по существу только один способ получить трансверсальное пересечение векторных подпространств
и V, именно: выбрать какой-нибудь базис
для
, расширить его до базиса для
добавив
и до базиса для V, добавив
. Тогда набор векторов
будет базисом для всего
Отсюда видно, что с помощью линейной замены мы можем перевести наши подпространства в подпространства
и
где
(единица на
месте). Эта конфигурация единственна, и каждое трансверсальное пересечение
-многообразия с
-многообразием в
локально выглядит в точности также, как она. Рис. 4.18 иллюстрирует это для случая
-многообразий в
Отметим, что описанное выше приведение к стандартному виду требует выполнения двух актов выбора, каждый из которых может быть осуществлен различными способами. В терминологии, введенной в § 2 гл. 2, это выбор кобазиса для
в
и соответственно в V.