8 Трансверсальность

В конечном счете мы определим понятие трансверсальности для многообразий, но сначала займемся векторными пространствами. Два подпространства и V в называются трансвереальными, если вместе они порождают всё пространство. Если то это означает, что Обратно, при выполнении этого неравенства и V трансверсальны тогда и только тогда, когда они пересекаются по подпространству наинизшей возможной размерности. Эта минимальная размерность равна

Рис. 4.13

Например, две плоскости в трансверсальны, если они пересекаются по прямой (т. е. если они не совпадают между собой), поскольку

4-мерное и -мерное подпространства в трансверсальны, если они пересекаются по подпространству размерности

С другой стороны, два одномерных подпространства в (две прямые) не могут быть трансверсальны.

Теперь перейдем к аффинным подпространствам — векторным подпространствам, отодвинутым от начала. Более точно, аффинное подпространство в К" — это подмножество вида

где а — фиксированный элемент из подпространство (рис. 4.13). Под размерностью X понимается размерность V.

Особенностью новой ситуации является аффинные пространства могут вовсе не пересекаться (как, скажем, скрещивающиеся прямые в например, прямые

не могут пересечься, так как для точки у, z) из их пересечения должны были бы одновременно выполняться равенства см. рис. 4.14). На самом деле это даже типично для прямых в — вовсе не пересекаться.

Пусть X и Y — аффинные подпространства в размерностей и соответственно. Говорят, что они трансверсальны (или пересекаются трансверсально), если

либо

На рис. 4.15 показаны некоторые типичные пересечения в и отмечено, какие из них трансверсальны.

Заметим, что трансверсальность зависит от размерности объемлющего пространства; например, пересечения были бы трансверсальны в

Приступим, наконец, к многообразиям. Два подмногообразия в пересекаются трансверсально в данной точке, если либо они вовсе не пересекаются в этой точке, либо их

Рис. 4.14

Рис. 4.15 (см. скан)

касательные (гипер)плоскости пересекаются трансверсально. В отличие от случая аффинных подпространств эти касательные гиперплоскости могут совпадать для многообразий, которые сами пересекаются лишь в одной-единственной точке. Например, кривые -многообразия не трансверсальны в начале (хоть оно и является единственной точкой пересечения), поскольку для обеих касательной служит ось х (рис. 4.16).

На рис. 4.17 представлены для многообразий случаи, показанные для плоскостей на рис. 4.15, с добавлением одного более тонкого случая Хотя он и напоминает слегка случай (i), здесь нет трансверсальности, так как касательные плоскости совпадают.

О трансверсальных объектах часто говорят, что они находятся в общем положении (ибо „не происходит ничего особенного"). Трансверсальность типична в следующем

Рис. 4.16

Рис. 4.17 (см. скан)

смысле (который можно сделать точным): для двух многообразий, взятых наудачу, бесконечно мала вероятность того, что они пересекаются нетрансверсально (примерно так же, как бесконечно мала вероятность того, чтобы наудачу взятое вещественное число оказалось в точности равным Точная форма этого утверждения о типичности была впервые открыта и доказана Томом; под названием теоремы Тома о трансверсальности она стала мощным техническим средством. Однако в интуитивной форме это утверждение уже давно появилось в качестве неявно делаемого допущения у многих физиков. Язык, который позволит нам выразить все это с большей ясностью, мы разовьем в § 11.

Вблизи точки трансверсального пересечения пара многообразий хорошо аппроксимируется парой касательных плоскостей. Отсюда вытекает, что локальная природа пересечения определяется исключительно размерностями многообразий: для пары пространств данных размерностей одно трансверсальное пересечение выглядит так же, как

Рис. 4.18

другое. Действительно, имеется по существу только один способ получить трансверсальное пересечение векторных подпространств и V, именно: выбрать какой-нибудь базис для , расширить его до базиса для добавив и до базиса для V, добавив . Тогда набор векторов

будет базисом для всего Отсюда видно, что с помощью линейной замены мы можем перевести наши подпространства в подпространства

и

где (единица на месте). Эта конфигурация единственна, и каждое трансверсальное пересечение -многообразия с -многообразием в локально выглядит в точности также, как она. Рис. 4.18 иллюстрирует это для случая -многообразий в

Отметим, что описанное выше приведение к стандартному виду требует выполнения двух актов выбора, каждый из которых может быть осуществлен различными способами. В терминологии, введенной в § 2 гл. 2, это выбор кобазиса для в и соответственно в V.